Πλεονεξία

KARKAR · #1

: Πλεονεξία.png (3.15 KiB) Προβλήθηκε 783 φορές

Στο ορθογώνιο ABCD

, η πλευρά

και η διαγώνιος

έχουν άθροισμα

.

α) Μπορεί το εμβαδόν του ορθογωνίου να γίνει 15m^2

;

β) Βρείτε το μέγιστο εμβαδόν του ορθογωνίου .

#2

KARKAR έγραψε: Κυρ Νοέμ 29, 2020 1:39 pm Πλεονεξία.pngΣτο ορθογώνιο , η πλευρά και η διαγώνιος έχουν άθροισμα .

α) Μπορεί το εμβαδόν του ορθογωνίου να γίνει ;

β) Βρείτε το μέγιστο εμβαδόν του ορθογωνίου .

Αν

τότε

και η άλλη πλευρά από Πυθαγόρειο είναι $\sqrt {(9-x)^2-x^2}=\sqrt {81-18x}$ . Περιορισμός 0<x<4,5

(αλγεβρικά μιλώντας θα λέγαμε $x \le 4,5$ αλλά μην ξεχνάμε ότι εδώ έχουμε γεωμετρικά (γνήσια θετικά) μεγέθη).

Εμβαδόν $E=x\sqrt {81-18x}$ από όπου $E' = \dfrac {27-3x}{\sqrt {81-18x}}$ . Έπεται ότι έχουμε μέγιστο στο x=3

(άμεσο). Η τιμή του μεγίστου $9\sqrt 3$ .

Επειδή αυτό είναι >15

, η απάντηση στο ερώτημα α) ειναι καταφατική. Αλλιώς, λύνοντας την εξίσωση $x\sqrt {81-18x}=15$ θα βρούμε x=5/2

ή $x=1\pm \sqrt 6$ . (κρατάμε το "+"), που είναι εντός πεδίου ορισμού.

#3

Καλησπέρα σε όλους. Μια διαφορετική προσέγγιση στο όμορφο θέμα μεγιστοποίησης.

: 29-11-2020 Γεωμετρία b.jpg (23.02 KiB) Προβλήθηκε 708 φορές

Φέρνω τη διάμεσο

. Τότε

, σταθερό. Το τρίγωνο AMB

με μεταβλητές πλευρές έχει σταθερή περίμετρο, άρα έχει μέγιστο εμβαδόν όταν γίνει ισόπλευρο.(*) Αυτό συμβαίνει όταν AB = 3

κι έχει εμβαδόν $\displaystyle \frac{9\sqrt3}{4}$ . Τότε και το ορθογώνιο έχει μέγιστο εμβαδόν, το τετραπλάσιο του τριγώνου.

(*) Γνωστή πρόταση στα ισοπεριμετρικά πολύγωνα.

#4

Γιώργος Ρίζος έγραψε: Κυρ Νοέμ 29, 2020 7:00 pm
(*) Γνωστή πρόταση στα ισοπεριμετρικά πολύγωνα.

Σωστά. Υπάρχει στο δυστυχώς χαμένο σήμερα Περί ισοπεριμετρικών σχημάτων του Ζηνοδώρου. Ευτυχώς υπάρχουν εκτενή αποσπάσματα του έργου στα Σχόλια που έγραψε ο Θέων Αλεξανδρεύς (πατέρας της Υπατίας) στην Μεγίστη Σύνταξη του Πτολεμαίου, οπότε έχουμε σαφή εικόνα για το περιεχόμενό του.

#5

Ευχαριστώ τον Μιχάλη για τις ενδιαφέρουσες πληροφορίες. Για λόγους πληρότητας δίνω την προσέγγιση που έχω υπόψιν. Θα χαρώ να δω κι άλλες.

Από όλα ισοπεριμετρικά τρίγωνα, το ισόπλευρο έχει μέγιστο εμβαδόν.

Απόδειξη:

Έστω τρίγωνο ABC

με μεταβλητές πλευρές a, b, c

, ώστε

, σταθερό.

$\displaystyle E = \sqrt {\tau \left( {\tau - a} \right)\left( {\tau - b} \right)\left( {\tau - c} \right)} \Leftrightarrow \frac{{{E^2}}}{{{\tau ^2}}} = \left( {\tau - a} \right)\left( {\tau - b} \right)\left( {\tau - c} \right)$

Αφού το άθροισμα $\displaystyle \left( {\tau - a} \right) + \left( {\tau - b} \right) + \left( {\tau - c} \right) = 2\tau - k$ είναι σταθερό, το γινόμενο $\displaystyle \left( {\tau - a} \right)\left( {\tau - b} \right)\left( {\tau - c} \right)$ παίρνει τη μέγιστη τιμή του όταν οι παράγοντές του γίνουν ίσοι μεταξύ τους (αν μπορεί να γίνουν ίσοι). Αυτό συμβαίνει όταν a=b=c

.

Τότε και το $\displaystyle \frac{{{E^2}}}{{{\tau ^2}}}$ παίρνει τη μέγιστη τιμή του, άρα και το

και είναι ίση με $\displaystyle \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}$ .

Πλεονεξία

Πλεονεξία

Re: Πλεονεξία

Re: Πλεονεξία

Re: Πλεονεξία

Re: Πλεονεξία

Μέλη σε σύνδεση