Ώρα εφαπτομένης 80

KARKAR · #1

: Ώρα εφαπτομένης 80.png (11.5 KiB) Προβλήθηκε 838 φορές

Οι παράλληλες ευθείες $\varepsilon$ και $\varepsilon'$ , έχουν απόσταση

. Η μία πλευρά γωνίας 45^0

με κορυφή

στην $\varepsilon$ , τέμνει την $\varepsilon'$ στο

και την μεσοπαράλληλη στο

, ενώ η άλλη πλευρά τέμνει την

μεσοπαράλληλη στο

, έτσι ώστε PT = 5

. Υπολογίστε την : $\tan{\widehat{OST}$ . ( Κατασκευή ).

#2

Προς το παρόν η κατασκευή.

: Ώρα εφαπτομένης.80.png (10.43 KiB) Προβλήθηκε 815 φορές

Επί της $\displaystyle (\varepsilon ')$ θεωρώ τα σημεία P, Q

ώστε

(ή

) και γράφω τον κύκλο (P, PQ)

που τέμνει

την μεσοπαράλληλη στο

Τέλος η

τέμνει την $\displaystyle (\varepsilon )$ στο

και ολοκληρώνεται η κατασκευή.

Αργότερα η απόδειξη της κατασκευής.

edit: 7:00 pm συμπλήρωσα ότι μπορεί να είναι και

#3

KARKAR έγραψε: Δευ Ιαν 11, 2021 2:29 pm Ώρα εφαπτομένης 80.pngΟι παράλληλες ευθείες $\varepsilon$ και $\varepsilon'$ , έχουν απόσταση . Η μία πλευρά γωνίας με κορυφή

στην $\varepsilon$ , τέμνει την $\varepsilon'$ στο και την μεσοπαράλληλη στο , ενώ η άλλη πλευρά τέμνει την

μεσοπαράλληλη στο , έτσι ώστε . Υπολογίστε την : $\tan{\widehat{OST}$ . ( Κατασκευή ).

Απόδειξη της παραπάνω κατασκευής και λύση της άσκησης.

Έστω OD, TE

τα ύψη των τριγώνων OST, TPQ.

Θέτω

Εύκολα

βρίσκω PE=4

και $\displaystyle ST = \frac{{4 + x}}{2} \Leftrightarrow SD = \frac{{4 - x}}{2}.$ Στο τρίγωνο OST

είναι:

: Ώρα εφαπτομένης.80β.png (13.34 KiB) Προβλήθηκε 788 φορές

$\displaystyle \tan 45^\circ + \tan \theta + \tan \varphi = \tan 45^\circ \tan \theta \tan \varphi \Leftrightarrow 1 + \frac{6}{{4 - x}} + \frac{3}{x} = \frac{{18}}{{x(4 - x)}} \Leftrightarrow$

x^2-7x+6=0,

απ' όπου

ή

και $\boxed{PQ=5}$ ή $\boxed{PQ=10}$

Για x=1

είναι $\boxed{\tan \theta = 2}$ ενώ για x=6

είναι $\boxed{\tan \theta = -3}$

#4

KARKAR έγραψε: Δευ Ιαν 11, 2021 2:29 pm Ώρα εφαπτομένης 80.pngΟι παράλληλες ευθείες $\varepsilon$ και $\varepsilon'$ , έχουν απόσταση . Η μία πλευρά γωνίας με κορυφή

στην $\varepsilon$ , τέμνει την $\varepsilon'$ στο και την μεσοπαράλληλη στο , ενώ η άλλη πλευρά τέμνει την

μεσοπαράλληλη στο , έτσι ώστε . Υπολογίστε την : $\tan{\widehat{OST}$ . ( Κατασκευή ).

Κατασκευή

Ας είναι $K\,\,\kappa \alpha \iota \,\,Q$ τα σημεία τομής της από το

κάθετης στις παράλληλες ευθείες.

Γράφω τον κύκλο $\left( {P,5} \right)$ που τέμνει τη μεσοπαράλληλη σε δύο σημεία . Το προς τα δεξιά σημείο έστω

.

Θεωρώ ευθεία διερχόμενη από το

και να σχηματίζει με την

γωνία $45^\circ$ .

Η κάθετη στο

σ αυτή την ευθεία τέμνει τη μεσοκάθετο του

στο

.

Ονομάζω

το προς τα δεξιά σημείο τομής του κύκλου $\left( {L,LT} \right)$ με την πάνω παράλληλη . Θα είναι $\widehat {POT} = 45^\circ$ ( υπό χορδής κι εφαπτομένης).

Υπολογισμοί

: Ωρα εφαπτομένης_80.png (34.11 KiB) Προβλήθηκε 765 φορές

Ας είναι

το άλλο σημείο τομής του πιο πάνω κύκλου με την

και

το άλλο σημείο τομής με την μεσοπαράλληλη.

Επειδή τα $\vartriangle KEP$ και $\vartriangle TKF$ είναι ορθογώνια και ισοσκελή θα είναι : $EK = KP = 3\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KT = KF = 4$ .

Θέτω $KS = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PS = y$ . Ισχύουν ταυτόχρονα:

$\left\{ \begin{gathered} {y^2} = {x^2} + 9 \hfill \\ SP \cdot SO = ST \cdot SE \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} {y^2} = {x^2} + 9 \hfill \\ {y^2} = \left( {4 - x} \right)\left( {3 + x} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \boxed{x = \frac{3}{2}}$ . Προφανώς τώρα: $\tan \theta = 2$

nickchalkida · #5

Με τους συμβολισμούς του σχήματος είναι:

$\displaystyle{ \begin{aligned} & PE = FO = SK = EL = 3\cot\theta \cr & HD = OG = KT = LH = 3\tan(\theta -45) \cr \end{aligned} }$

Όταν PT = 5

θα είναι προφανώς PH = 4

, οπότε τότε παίρνουμε:

$\displaystyle{ \begin{aligned} & 3\cot\theta + 3\cot\theta + 3\tan(\theta -45) = 4 \rightarrow 6\cot\theta + 3\tan(\theta -45) = 4 \rightarrow \cr & {6 \over \tan\theta} + 3{ \tan\theta - \tan 45 \over 1 + \tan\theta \tan 45} = 4 \rightarrow {6 \over x} + 3{ x-1 \over x+1} = 4 \cr \end{aligned} }$

Λύνοντας την παραπάνω δευτεροβάθμια βρίσκουμε $\tan\theta=-3$ ή $\tan\theta=2$ .

Ώρα εφαπτομένης 80

Ώρα εφαπτομένης 80

Re: Ώρα εφαπτομένης 80

Re: Ώρα εφαπτομένης 80

Re: Ώρα εφαπτομένης 80

Re: Ώρα εφαπτομένης 80

Μέλη σε σύνδεση