Μέγιστο εμβαδόν 39

KARKAR · #1

: Μέγιστο εμβαδόν 39.png (10.3 KiB) Προβλήθηκε 809 φορές

Από σημείο

, το οποίο κινείται επί της

, φέρω κάθετες προς τις διαγωνίους του παραλληλογράμμου .

Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τετραπλεύρου SPKT

. Σημ. : Οφείλετε να βρείτε και την θέση του

.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

KARKAR έγραψε: Κυρ Ιαν 24, 2021 9:14 pm Μέγιστο εμβαδόν 39.pngΑπό σημείο , το οποίο κινείται επί της , φέρω κάθετες προς τις διαγωνίους του παραλληλογράμμου .

Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τετραπλεύρου . Σημ. : Οφείλετε να βρείτε και την θέση του .

Άρση απόκρυψης και λύση

Από ν.συνημιτόνου στο τρίγωνο ABC

έχουμε $\angle BCA=45^0$ και με CS=x

έχουμε $(PCS)= \dfrac{x^2}{4}$

Επειδή $tan \theta = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}$ ,με ST=y

θα είναι

και με Π.Θ $y^2= \dfrac{(x-6)^2}{5}=(TSB)$

Είναι λοιπόν $f(x)=(CPS)+(BTS)= \dfrac{(x-6)^2}{5}+ \dfrac{x^2}{4}= \dfrac{3}{20}(3x^2-16x+48)$

Ισχύει (CKB)=6

άρα το ζητούμενο εμβαδόν παίρνει την μέγιστη τιμή του όταν η

πάρει την ελάχιστη τιμή της

Αυτό όμως συμβαίνει όταν $x= \dfrac{8}{3}$ με ελάχιστη τιμή $f( \dfrac{8}{3} )=4$ .Άρα $(PSTK)_{max} =6-4=2$

(Απ ότι βλέπω ,έχουμε ίδια λύση με το φίλο Γιώργο Βισβίκη)

: μέγιστο εμβαδόν 39.png (29.07 KiB) Προβλήθηκε 741 φορές

#3

KARKAR έγραψε: Κυρ Ιαν 24, 2021 9:14 pm Μέγιστο εμβαδόν 39.pngΑπό σημείο , το οποίο κινείται επί της , φέρω κάθετες προς τις διαγωνίους του παραλληλογράμμου .

Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τετραπλεύρου . Σημ. : Οφείλετε να βρείτε και την θέση του .

Θέτω

και εύκολα βρίσκω τις γωνίες των $45^\circ$ στο σχήμα. Εξάλλου,

$\displaystyle \tan \theta = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow TB = 2h$ και $\displaystyle \sin \theta = \frac{1}{{\sqrt 5 }} = \frac{h}{{6 - x}} \Leftrightarrow {h^2} = \frac{{{{(6 - x)}^2}}}{5}$

: Μέγιστο εμβαδόν 39.png (17.05 KiB) Προβλήθηκε 748 φορές

$\displaystyle (SPKT) = (KBC) - [(SPC) + (STB)] = 6 - \left( {\frac{{{x^2}}}{4} + {h^2}} \right)$

Θα βρω την ελάχιστη τιμή του $\displaystyle f(x) = \frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{{(6 - x)}^2}}}{5} = \frac{1}{{20}}\left( {9{x^2} - 48x + 144} \right)$ που ως τριώνυμο

παρουσιάζει για $\boxed{x=\frac{8}{3}}$ ελάχιστο ίσο με $\boxed{f\left( {\frac{8}{3}} \right) = 4}$ Άρα, $\boxed{{(SPKT)_{\max }} = 2}$

#4

Ανάλυση

: Μέγιστο εμβαδόν 39_Ανάλυση.png (18.84 KiB) Προβλήθηκε 713 φορές

Επί της ουσίας έχουμε ένα σταθερό τρίγωνο KBC

, ένα κινούμενο σημείο,

στην

και τις προβολές του $P\,,\,T$ στις δύο άλλες πλευρές .

Ζητούμε τη θέση του

για να μεγιστοποιηθεί το εμβαδόν του τετράπλευρου KTSP

.

(Το μέγιστο αυτό εμβαδόν συνήθως μετά τον εντοπισμό του

είναι απλοί υπολογισμοί)

Μετασχηματίζω το τετράπλευρο σε ισοδύναμο τρίγωνο .

Προς τούτο από το σταθερό

φέρνω παράλληλη στην μεταβλητή

κι έστω

η τομή της με την

. $\boxed{\left( {KTSP} \right) = \left( {LSP} \right)}$ .

Το $\vartriangle LSP$ αποτελείται από δύο τρίγωνα : $\vartriangle LTP\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle STP$ με κοινή την

Άρα το εμβαδόν τους γίνεται μέγιστο όταν το άθροισμα των υψών τους, $KP\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SG$ προς την

, γίνει μέγιστο .

Δηλαδή όταν η απόσταση του

προς την

γίνει μέγιστη , δηλαδή όταν : $\boxed{KL//TP//BC}$ .

Κατασκευή

: Μέγιαστο εμβαδόν 39_Κατασκευή.png (22.28 KiB) Προβλήθηκε 713 φορές

Φέρνω από το

ευθεία, μέσα στο $\vartriangle KBC$ που να σχηματίζει με την

γωνία ίση με τη $\widehat {{C_{}}}$ και τέμνει την

στο

.

Υπολογίζονται : $\boxed{{{\left( {KTSP} \right)}_{\max }} = 2\,}$ , $\boxed{BS = \frac{{10}}{3}}$

Μέγιστο εμβαδόν 39

Μέγιστο εμβαδόν 39

Re: Μέγιστο εμβαδόν 39

Re: Μέγιστο εμβαδόν 39

Re: Μέγιστο εμβαδόν 39

Μέλη σε σύνδεση