Ελάχιστο γινομένου

KARKAR · #1

: Ελάχιστο γινομένου.png (9.63 KiB) Προβλήθηκε 634 φορές

Τα

είναι σημεία των δύο πλευρών της γωνίας $\hat{O}$ . Ευθεία , η οποία διέρχεται

από το μέσο

του τμήματος

, τέμνει τις πλευρές της γωνίας στα σημεία S,T

.

Υπολογίστε την ελάχιστη τιμή του γινομένου : $MS \cdot MT$ $\blacktriangle$

#2

KARKAR έγραψε: Πέμ Φεβ 18, 2021 8:04 am Ελάχιστο γινομένου.pngΤα είναι σημεία των δύο πλευρών της γωνίας $\hat{O}$ . Ευθεία , η οποία διέρχεται

από το μέσο του τμήματος , τέμνει τις πλευρές της γωνίας στα σημεία .

Υπολογίστε την ελάχιστη τιμή του γινομένου : $MS \cdot MT$ $\blacktriangle$

Φέρνω

και έστω

η προβολή του

στην

Θέτω

Προφανώς

και $\displaystyle DM = BM = MA = \frac{{\sqrt {41} }}{2}.$ Επίσης BN=SA=x

και

: Ελάχιστο γινομένου.Κ.png (11.83 KiB) Προβλήθηκε 613 φορές

άρα από γνωστή άσκηση είναι $\displaystyle M{D^2} = M{S^2} + DS \cdot SA \Leftrightarrow$ $\boxed{4M{S^2} = 4{x^2} - 20x + 41}$ (1)

$\displaystyle \frac{{TN}}{{TS}} = \frac{{BN}}{{OS}} \Leftrightarrow \frac{{TN}}{{TN + 2MS}} = \frac{x}{{8 - x}} \Leftrightarrow TN = \frac{{xMS}}{{4 - x}} \Leftrightarrow MS(TN + MS) = \frac{{4M{S^2}}}{{4 - x}} \Leftrightarrow$

$\displaystyle MS(TN + NM) = \frac{{4M{S^2}}}{{4 - x}}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)}$ $\boxed{MS \cdot MT = f(x) = \frac{{4{x^2} - 20x + 41}}{{4 - x}},0<x\ne 4}$

Με τη βοήθεια παραγώγων, εύκολα τώρα βρίσκω $\boxed {(MS \cdot MT)_{\min }} = 8}$ όταν $\boxed{SA=x=\dfrac{3}{2}}$

Ελάχιστο γινομένου

Ελάχιστο γινομένου

Re: Ελάχιστο γινομένου

Μέλη σε σύνδεση