Όριο γινομένου

KARKAR · #1

: Όριο γινομένου.png (9.09 KiB) Προβλήθηκε 670 φορές

Σημείο

απομακρύνεται συνεχώς από κύκλο (O,r)

. Φέρω το εφαπτόμενο τμήμα

και την τέμνουσα

SPT

, έτσι ώστε τα T ,Q

να είναι αντιδιαμετρικά . Υπολογίστε το όριο του γινομένου : $SP\cdot PT$

nickchalkida · #2

Έστω

το μέσον του

. Γράφω τον κύκλο (K,KS)

. Όταν $S\rightarrow \infty$ τότε $P\rightarrow T$ άρα τότε

$\displaystyle{ SP \cdot PT = PQ^2 \rightarrow TQ^2 = d^2 }$

#3

KARKAR έγραψε: Τρί Οκτ 26, 2021 12:53 pm Όριο γινομένου.pngΣημείο απομακρύνεται συνεχώς από κύκλο . Φέρω το εφαπτόμενο τμήμα και την τέμνουσα

, έτσι ώστε τα να είναι αντιδιαμετρικά . Υπολογίστε το όριο του γινομένου : $SP\cdot PT$

Η πιο ενδεδειγμένη είναι η λύση του Νίκου.

: Όριο γινομένου.ΚΑ.png (10.89 KiB) Προβλήθηκε 631 φορές

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 4{r^2} = PT \cdot ST \Leftrightarrow S{T^2} = 4{r^2} - SP \cdot PT\\ \\ {x^2} = SP \cdot ST \Leftrightarrow S{P^2} = {x^2} - SP \cdot PT \end{array} \right.\mathop \Rightarrow \limits^ \div \frac{{S{T^2}}}{{S{P^2}}} = \frac{{4{r^2} - SP \cdot PT}}{{{x^2} - SP \cdot PT}} \Leftrightarrow$

$\displaystyle \frac{{16{r^4}}}{{{x^4}}} = \frac{{4{r^2} - SP \cdot PT}}{{{x^2} - SP \cdot PT}} \Leftrightarrow SP \cdot PT = \frac{{4{r^2}{x^2}}}{{{x^2} + 4{r^2}}} \Rightarrow$ $\boxed{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {SP \cdot PT} \right) = 4{r^2}}$

ΥΓ. Ο τελικός τύπος βγαίνει ευκολότερα από το $\displaystyle \frac{1}{{P{Q^2}}} = \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{4{r^2}}},$ αλλά δεν ήθελα να χρησιμοποιήσω το $\displaystyle SP \cdot PT = P{Q^2}$

Όριο γινομένου

Όριο γινομένου

Re: Όριο γινομένου

Re: Όριο γινομένου

Μέλη σε σύνδεση