Χωρίς αριθμητικά δεδομένα

#1

: Κι άλλη πρόοδος.png (11.87 KiB) Προβλήθηκε 787 φορές

Τα μήκη των πλευρών AB, AC, BC

τριγώνου

είναι διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί. Οι εφαπτόμενες του

περιγεγραμμένου κύκλου στα σημεία A, B

τέμνονται στο

ενώ η παράλληλη από το

στην

τέμνει την

στο

Αν

να βρείτε τις πλευρές του ABC.

#2

george visvikis έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 04, 2022 6:21 pm
Κι άλλη πρόοδος.png
Τα μήκη των πλευρών τριγώνου είναι διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί. Οι εφαπτόμενες του

περιγεγραμμένου κύκλου στα σημεία τέμνονται στο ενώ η παράλληλη από το στην τέμνει την

στο Αν να βρείτε τις πλευρές του

Έστω $AB=k-1,AC=k,BC=k+1,k\in {{N}^{*}}-\left\{ 1 \right\}$ . Τότε θα έχουμε: $\angle ATS\overset{ST\parallel BC}{\mathop{=}}\,\angle C\overset{\varepsilon \gamma \gamma \varepsilon \gamma \rho \alpha \mu \mu \varepsilon \nu \eta -\upsilon \pi o\,\,\chi o\rho \delta \eta \varsigma \,\,\kappa \alpha \iota \,\,\varepsilon \varphi \alpha \pi \tau o\mu \varepsilon \nu \eta \varsigma }{\mathop{=}}\,\angle SBA\Rightarrow S,A,T,B$ ομοκυκλικά , άρα $\angle C=\angle SAB\overset{S,A,T,B\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha }{\mathop{=}}\,\angle STB\overset{ST\parallel BC}{\mathop{=}}\,\angle TBC$ $\Rightarrow TC=TB=AB=k-1$ και προφανώς $\omega =\angle BTC={{180}^{0}}-\angle ATB\overset{BA=BT,\angle BAT=\angle \theta }{\mathop{=}}\,$ ${{180}^{0}}-\angle \theta \Rightarrow \cos \omega =-\cos \theta :\left( 1 \right)$

: χωρίς αριθμητικά δεδομένα.png (33.47 KiB) Προβλήθηκε 751 φορές

Από τον νόμο των συνημιτόνων στα τρίγωνα $\vartriangle TBC,\vartriangle ABC$ προκύπτει ότι:
$\cos \omega =\dfrac{2{{\left( k-1 \right)}^{2}}-{{\left( k+1 \right)}^{2}}}{2{{\left( k-1 \right)}^{2}}}$ και $-\cos \theta =\dfrac{{{\left( k+1 \right)}^{2}}-{{\left( k-1 \right)}^{2}}-{{k}^{2}}}{2k\left( k-1 \right)}$ οπότε από τη σχέση $\left( 1 \right)$ προκύπτει ότι : $\dfrac{2{{\left( k-1 \right)}^{2}}-{{\left( k+1 \right)}^{2}}}{2{{\left( k-1 \right)}^{2}}}=\dfrac{{{\left( k+1 \right)}^{2}}-{{\left( k-1 \right)}^{2}}-{{k}^{2}}}{2k\left( k-1 \right)}\Leftrightarrow \ldots 2{{k}^{2}}-11k+5=0$ με ρίζες τις $k=5,k=\dfrac{1}{2}$ , άρα δεκτή η k=5

οπότε οι πλευρές του τριγώνου θα είναι AB=4,AC=5,BC=6

#3

george visvikis έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 04, 2022 6:21 pm
Κι άλλη πρόοδος.png
Τα μήκη των πλευρών τριγώνου είναι διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί. Οι εφαπτόμενες του

περιγεγραμμένου κύκλου στα σημεία τέμνονται στο ενώ η παράλληλη από το στην τέμνει την

στο Αν να βρείτε τις πλευρές του

Είναι : $\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}}$ (λόγω της παραλληλίας των $DT\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC$ ), $\widehat {{a_2}} = \widehat {{a_3}}$ ( χορδής κι εφαπτομένης) , $\widehat {{a_3}} = \widehat {{a_4}}$ ( SB = SA

) .

Δηλαδή το τετράπλευρο ASBT

είναι εγγράψιμο κι αφού SB = SA

θα είναι και $\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_5}}$ πάλι δε λόγω παραλληλίας , $\widehat {{a_5}} = \widehat {{a_6}}$ .

: Χωρίς αριθμητικά δεδομένα.png (23.58 KiB) Προβλήθηκε 696 φορές

Ας είναι τώρα

το σημείο τομής των $CA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BS$ . Αβίαστα προκύπτει ότι : $\vartriangle TBC = \vartriangle ABF$ και άρα BC = BF

.

Επειδή AC = AT + TC = AT + TB

και οι πλευρές διαδοχικοί ακέραιοι θα είναι $\boxed{AT = 1}$

Από τη δύναμη του σημείου

ως προς τον κύκλο $\left( {B,BC} \right)$ έχω:

$AF \cdot AC = B{C^2} - A{B^2}$ και αν θέσω AB = x

θα γίνει:

$x\left( {x + 1} \right) = {\left( {x + 2} \right)^2} - {x^2} \Rightarrow \boxed{x = 4\,\,,x + 1 = 5\,\,,\,\,x + 2 = 6}$ .

STOPJOHN · #4

george visvikis έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 04, 2022 6:21 pm
Κι άλλη πρόοδος.png
Τα μήκη των πλευρών τριγώνου είναι διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί. Οι εφαπτόμενες του

περιγεγραμμένου κύκλου στα σημεία τέμνονται στο ενώ η παράλληλη από το στην τέμνει την

στο Αν να βρείτε τις πλευρές του

Απο χορδή εφαπτομένη $\hat{SBA}=\hat{SAB}=\omega =\hat{C},$

$ST//BC\Rightarrow \hat{ATS}=\hat{C}=\omega$

Αρα το τετράπλευρο SBTA

είναι εγγράψιμο ,οπότε

$\hat{STB}=\omega = \hat{TBC}\Rightarrow BT=TC=AB=c$

Είναι c,b=c+1,a=c+2

φυσικοί αριθμοί

$NT//BC\Rightarrow NT=\dfrac{a(b-c)}{b},$ ,

Θεώρημα διχοτόμου στο τρίγωνο $ABT,AN=\dfrac{c(b-c)}{b},NB=\dfrac{c^{2}}{b}$

και θεώρημα Stewart

στο τρίγωνο $ATB,a^{2}=cb+c^{2}\Rightarrow (c+2)^{2}=(c+1).c+c^{2}\Rightarrow c=4,b=5,a=6$

Χωρίς αριθμητικά δεδομένα

Χωρίς αριθμητικά δεδομένα

Re: Χωρίς αριθμητικά δεδομένα

Re: Χωρίς αριθμητικά δεδομένα

Re: Χωρίς αριθμητικά δεδομένα

Μέλη σε σύνδεση