Μέγιστη απομάκρυνση

KARKAR · #1

: Μέγιστη απομάκρυνση.png (7.65 KiB) Προβλήθηκε 652 φορές

Στη μια πλευρά γωνίας $\hat{O}=45^{\circ}$ , θεωρούμε σταθερό τμήμα OB=a

. Σημείο

κινείται στην άλλη

πλευρά . Η μεσοκάθετος του

, τέμνει το

στο σημείο

. Βρείτε το μέγιστο του τμήματος

.

#2

KARKAR έγραψε: Τρί Οκτ 11, 2022 1:14 pm Μέγιστη απομάκρυνση.pngΣτη μια πλευρά γωνίας $\hat{O}=45^{\circ}$ , θεωρούμε σταθερό τμήμα . Σημείο κινείται στην άλλη

πλευρά . Η μεσοκάθετος του , τέμνει το στο σημείο . Βρείτε το μέγιστο του τμήματος .

Με τους συμβολισμούς του σχήματος και νόμο συνημιτόνου στο AOS

είναι:

: Μέγιστη απομάκρυνση.ΚΑ.png (9.92 KiB) Προβλήθηκε 616 φορές

$\displaystyle {(a - y)^2} = {y^2} + {x^2} - xy\sqrt 2 \Leftrightarrow {x^2} - xy\sqrt 2 + 2ay - {a^2} = 0.$ Για να έχει αυτή η εξίσωση ως προς

πραγματικές λύσεις θα πρέπει $\displaystyle \Delta \geqslant 0 \Leftrightarrow 2{y^2} - 8ay + 4{a^2} \geqslant 0,0 < y < a \Rightarrow y \leqslant a\left( {2 - \sqrt 2 } \right)$

Άρα $\boxed{O{S_{\max }} = a\left( {2 - \sqrt 2 } \right)}$ και αυτό συμβαίνει όταν $\boxed{x = a\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}$ Τότε το τρίγωνο AOS

είναι

ορθογώνιο και ισοσκελές.

#3

KARKAR έγραψε: Τρί Οκτ 11, 2022 1:14 pm Μέγιστη απομάκρυνση.pngΣτη μια πλευρά γωνίας $\hat{O}=45^{\circ}$ , θεωρούμε σταθερό τμήμα . Σημείο κινείται στην άλλη

πλευρά . Η μεσοκάθετος του , τέμνει το στο σημείο . Βρείτε το μέγιστο του τμήματος .

Έστω λυμένο το πρόβλημα .

Σταθερά είναι το OB = a

, η

ως ημιευθεία , το μέσο

του

, η κάθετη $\left( \varepsilon \right)$ ,στο

επί την σταθερή ημιευθεία

, η παράλληλη από το

προς την

κ. α.

Αρκεί λοιπόν να μεγιστοποιείται το

ή να ελαχιστοποιείται το

.

Αν

το μέσο του

και

το μέσο του

θα πρέπει $KN \bot MN$ , οπότε και $AS \bot MN$ , κι αφού OA//MN

θα είναι $\boxed{SA \bot OA}$ .

: Μεγίστη απομάκρυνση_κατασκευή_ok.png (14.38 KiB) Προβλήθηκε 566 φορές

Αν

το σταθερό σημείο τομής των $OA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( \varepsilon \right)$ , το

θα ισαπέχει των $OA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( \varepsilon \right)$ δηλαδή η

είναι η σταθερή διχοτόμος του $\vartriangle FOB$ και έτσι

$\dfrac{{OS}}{{SB}} = \dfrac{{FO}}{{FB}} = \sqrt 2 \Rightarrow \dfrac{{OS}}{{OB}} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 + 1}} = 2 - \sqrt 2$ και άρα : $\boxed{O{S_{\max }} = \left( {2 - \sqrt 2 } \right)a}$

Μέγιστη απομάκρυνση

Μέγιστη απομάκρυνση

Re: Μέγιστη απομάκρυνση

Re: Μέγιστη απομάκρυνση

Μέλη σε σύνδεση