Λόγος διαιρετών υπό συνθήκη

Al.Koutsouridis · #1

Δίνεται ένας φυσικός αριιθμός

, που διαρείται με το

, του οποίου διαλέχθηκαν δυο διαφορετικοί περιττοί φυσικοί διαιρέτες

και

. Αν

, να βρείτε το $\dfrac{a}{b}$ .

Henri van Aubel · #2

Είναι $\displaystyle a=\frac{N}{m}$ και $\displaystyle b=\frac{N}{n},$ για κάποιους φυσικούς αριθμούς m,n.

Είναι:

$\displaystyle \frac{25}{m}+\frac{33}{n}=1\Leftrightarrow m=\frac{25n}{n-33}\in \mathbb{N}^{\ast }$

Όμως, είναι και $\displaystyle \frac{25n-825}{n-33}\in \mathbb{N}^{\ast }$

Άρα, θα πρέπει να είναι και $\displaystyle \frac{825}{n-33}\in \mathbb{N}^{\ast }$

Όμως , ο

διαιρείται με το 16,

άρα είναι άρτιος και αφού a,b

περιττοί, θα είναι m,n

άρτιοι.

Ο λόγος που θέλουμε είναι $\displaystyle \boxed{\frac{a}{b}=\frac{n}{m}=\frac{n-33}{25}}$

Οι τιμές που παίρνει το

είναι $\left \{ 34,36,38,44,48,58,66,88,108,198,308,858 \right \}$ . Διακρίνουμε περιπτώσεις:

Αν n=34,

τότε

και $34b=\pi o\lambda \lambda .16\Leftrightarrow b=\pi o\lambda \lambda .8,$ άτοπο!

Aν 36,

τότε $36b=\pi o\lambda \lambda .16\Leftrightarrow b=\pi o\lambda \lambda .4,$ άτοπο!

Αν n=38,

τότε

και $38b=\pi o\lambda \lambda .16\Leftrightarrow b=\pi o\lambda \lambda .8,$ άτοπο!

Αν n=44,

τότε $44b=\pi o\lambda \lambda .16\Leftrightarrow b=\pi o\lambda \lambda .4,$ άτοπο!

Αν n=48,

τότε $48b=\pi o\lambda \lambda .16,$ που ισχύει ακόμα και για περιττό

οπότε είμαστε οκ!

Αν n=58,

τότε

και $58b=\pi o\lambda \lambda .16\Leftrightarrow b=\pi o\lambda \lambda .8,$ άτοπο!

Aν n=66,

τότε

και $66b=\pi o\lambda \lambda .16\Leftrightarrow b=\pi o\lambda \lambda .8,$ άτοπο!

Αν n=88,

τότε $88b=\pi o\lambda \lambda .16\Leftrightarrow b=\pi o\lambda \lambda .2,$ άτοπο!

Αν n=108,

τότε $108b=\pi o\lambda \lambda .16\Leftrightarrow b=\pi o\lambda \lambda .4,$ άτοπο!

Αν n=198,

τότε $198b=\pi o\lambda \lambda .16\Leftrightarrow b=\pi o\lambda \lambda .8,$ άτοπο!

Αν n=308,

τότε $308b=\pi o\lambda \lambda .16\Leftrightarrow b=\pi o\lambda \lambda .4,$ άτοπο!

Αν n=858,

τότε

και $858b=\pi o\lambda \lambda .16\Leftrightarrow b=\pi o\lambda \lambda .8,$ άτοπο!

Οπότε έχουμε μόνη λύση n=48

και άρα $\displaystyle \boxed{\frac{a}{b}=\frac{3}{5}}$

Al.Koutsouridis · #3

Henri van Aubel έγραψε: Δευ Ιαν 16, 2023 5:26 pm
Οι τιμές που παίρνει το είναι $\left \{ 34,38,58,66,198,858 \right \}$ . Διακρίνουμε περιπτώσεις:

Λείπουν τιμές ή πρέπει να εξηγηθεί πως προέκυψαν οι υπάρχουσες.

Henri van Aubel · #4

Al.Koutsouridis έγραψε: Δευ Ιαν 16, 2023 9:48 pm
Henri van Aubel έγραψε: Δευ Ιαν 16, 2023 5:26 pm
Οι τιμές που παίρνει το είναι $\left \{ 34,38,58,66,198,858 \right \}$ . Διακρίνουμε περιπτώσεις:

Λείπουν τιμές ή πρέπει να εξηγηθεί πως προέκυψαν οι υπάρχουσες.

Ωωω, σωστά!

Λείπουν οι τιμές $n\in \left \{ 36,44,48,88,108,308 \right \},$ από τις οποίες έχουμε ως δεκτή λύση μόνο το 48,

γιατί μόνο έτσι θα είναι a,b

περιττοί. Οπότε, ο λόγος είναι $\displaystyle \boxed{\frac{a}{b}=\frac{48-33}{25}=\frac{15}{25}=\frac{3}{5}}$

Εξήγηση: Το n-33

είναι διαιρέτης του 825

(το έχουμε αποδείξει αρκετά πιο πάνω ), οι διαιρέτες του 825

είναι οι αριθμοί 1,3,5,11,15,25,33,55,75,165,275,825,

από τους οποίους παρέλειψα κάποιους, λόγω στραβομάρας!

Λόγος διαιρετών υπό συνθήκη

Λόγος διαιρετών υπό συνθήκη

Re: Λόγος διαιρετών υπό συνθήκη

Re: Λόγος διαιρετών υπό συνθήκη

Re: Λόγος διαιρετών υπό συνθήκη

Μέλη σε σύνδεση