Η μικρότερη μικρή

KARKAR · #1

: Η μικρότερη μικρή.png (5.56 KiB) Προβλήθηκε 735 φορές

Υπολογίστε το ελάχιστο μήκος της μικρής διαγωνίου του παραλληλογράμμου ABCD

,

το οποίο έχει εμβαδόν

και αναλογία πλευρών : AB: BC=4:3

Henri van Aubel · #2

Είναι $\displaystyle BD^{2}=\left ( \frac{3a}{4} \right )^{2}+a^{2}-\frac{3a^{2}}{2}\cdot \cos \angle A$

Όμως $\displaystyle \cos \angle A=\frac{\sqrt{\left (\displaystyle \frac{3a}{4} \right )^{2}-\displaystyle\left ( \frac{12}{a} \right )^{2}}}{\displaystyle \frac{3a}{4}}=\frac{\sqrt{9a^{4}-48^{2}}}{3a^{2}}$

Άρα $\displaystyle \boxed{BD^{2}=\frac{9a^{2}}{16}+a^{2}-\frac{3a^{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{9a^{4}-48^{2}}}{3a^{2}}=\frac{25a^{2}}{16}-\frac{\sqrt{9a^{4}-48^{2}}}{2}}$

Ε, τώρα είναι απλά τα πράγματα (συναρτήσεις Γ Λυκείου, ....γνωστές διαδικασίες). Πρέπει να κλείσω όμως, οπότε γειά σας (δεν έχω χρόνο να βρω το ελάχιστο)

#3

KARKAR έγραψε: Παρ Απρ 21, 2023 7:13 pm Η μικρότερη μικρή.pngΥπολογίστε το ελάχιστο μήκος της μικρής διαγωνίου του παραλληλογράμμου ,

το οποίο έχει εμβαδόν και αναλογία πλευρών :

: η μικρότερη μικρή.png (8.68 KiB) Προβλήθηκε 679 φορές

Mε $AB = x > 0\,\,,\,\,AD = \dfrac{{3x}}{4}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DB = y$ , από τον τύπο του Ήρωνα έχω δεκτή μια τιμή , $y = f\left( x \right) = \dfrac{{\sqrt {25{x^2} - 24\sqrt {{x^4} - 1024} } }}{4}$ .

Παρουσιάζει ελάχιστο όταν $AB = {x_0} = \dfrac{{20\sqrt {14} }}{7}$ το $f\left( {{x_0}} \right) = D{B_{\min }} = \sqrt {14}$

KARKAR · #4

Φοβάμαι ότι και οι δύο λύσεις έχουν λάθη στις πράξεις . Βρίσκω και με τους δύο τρόπους ότι :

$BD=\dfrac{\sqrt{25x^2-24\sqrt{x^4-256}}}{4}$ , με : $BD_{min}=\sqrt{7}$ , για : $x=\dfrac{20}{\sqrt{7}}$

#5

KARKAR έγραψε: Σάβ Απρ 22, 2023 8:13 am Φοβάμαι ότι και οι δύο λύσεις έχουν λάθη στις πράξεις . Βρίσκω και με τους δύο τρόπους ότι :

$BD=\dfrac{\sqrt{25x^2-24\sqrt{x^4-256}}}{4}$ , με : $BD_{min}=\sqrt{7}$ , για : $x=\dfrac{20}{\sqrt{7}}$

Δεν είδα ακόμα τις άλλες δύο λύσεις, αλλά βρίσκω τα ίδια με σένα Θανάση.

#6

Kαλημέρα σε όλους.

: 21-04-2023 Γεωμετρία b.png (6.54 KiB) Προβλήθηκε 627 φορές

Έστω

. Είναι $\displaystyle \left( {ABD} \right) = 6$ . Έστω $\displaystyle \upsilon = DK \bot AB$ , οπότε $\displaystyle \upsilon = \frac{3}{a}$ .

Πρέπει $\displaystyle \upsilon \le 3a \Leftrightarrow \frac{3}{a} \le 3a \Leftrightarrow a \ge 1$

Έστω $\displaystyle BD = x$ .

Τότε $\displaystyle AK = \sqrt {9{a^2} - \frac{9}{{{a^2}}}} = 3\sqrt {{a^2} - \frac{1}{{{a^2}}}}$ ,
$\displaystyle K{B^2} = {\left( {4a - AK} \right)^2} = 16{a^2} + 9{a^2} - \frac{9}{{{a^2}}} - 24a\sqrt {{a^2} - \frac{1}{{{a^2}}}}$

και $\displaystyle {x^2} = \frac{9}{{{a^2}}} + 16{a^2} + 9{a^2} - \frac{9}{{{a^2}}} - 24a\sqrt {{a^2} - \frac{1}{{{a^2}}}} = 25{a^2} - 24\sqrt {{a^4} - 1}$

Το

παίρνει ελάχιστο, όταν και το x^2

παίρνει ελάχιστο, αφού x > 0

.

Η συνάρτηση $\displaystyle f\left( a \right) = 25{a^2} - 24\sqrt {{a^4} - 1} ,\;\;a \ge 1$ έχει παράγωγο $\displaystyle f'\left( a \right) = \frac{{50a\sqrt {{a^4} - 1} - 48{a^3}}}{{\sqrt {{a^4} - 1} }}$ .
$\displaystyle f'\left( a \right) = 0 \Leftrightarrow 25\sqrt {{a^4} - 1} = 24{a^2} \Leftrightarrow 49{a^4} = 625 \Leftrightarrow a = \frac{{5\sqrt 7 }}{7}$

Στο σημείο αυτό, με πίνακα προσήμων, βρίσκεται το ελάχιστο της συνάρτησης, οπότε $\displaystyle {x^2}_{\min } = 7 \Leftrightarrow x{ & _{\min }} = \sqrt 7$

Νομίζω, σωστή είναι η επεξεργασία του Νίκου, παραπάνω, αλλά, αν βλέπω καλά στο σχήμα, σημείωσε το εμβαδόν του τριγώνου

, αντί

.

#7

KARKAR έγραψε: Παρ Απρ 21, 2023 7:13 pm Η μικρότερη μικρή.pngΥπολογίστε το ελάχιστο μήκος της μικρής διαγωνίου του παραλληλογράμμου ,

το οποίο έχει εμβαδόν και αναλογία πλευρών :

$\displaystyle (ABCD) = 12 \Leftrightarrow \frac{{3{a^2}}}{4}\sin A = 12 \Leftrightarrow \sin A = \frac{{16}}{{{a^2}}}$ και $\boxed{\cos A = \frac{{\sqrt {{a^4} - 256} }}{{{a^2}}}}$ (1)

: Η μικρότερη μικρή.png (7.8 KiB) Προβλήθηκε 620 φορές

Με νόμο συνημιτόνου στο ABD

και από την (1)

έχω:

$\displaystyle B{D^2} = {a^2} + \frac{{9{a^2}}}{{16}} - \frac{{3{a^2}}}{2} \cdot \frac{{\sqrt {{a^4} - 256} }}{{{a^2}}} \Leftrightarrow B{D^2} = \frac{{25{a^2} - 24\sqrt {{a^4} - 256} }}{{16}},$

Απ' όπου παίρνω τις τιμές που έγραψε ο KARKAR.

Η μικρότερη μικρή

Η μικρότερη μικρή

Re: Η μικρότερη μικρή

Re: Η μικρότερη μικρή

Re: Η μικρότερη μικρή

Re: Η μικρότερη μικρή

Re: Η μικρότερη μικρή

Re: Η μικρότερη μικρή

Μέλη σε σύνδεση