Αδιανόητο συνημίτονο

KARKAR · #1

: Αδιανόητο συνημίτονο.png (14.5 KiB) Προβλήθηκε 669 φορές

Με διάμετρο την κάθετη πλευρά

του ορθογωνίου τριγώνου ABC

, γράφουμε κύκλο ,

ο οποίος τέμνει την υποτείνουσα

στο σημείο

και την διχοτόμο της $\widehat{B}$ στο σημείο

,

εκτός του τριγώνου . Αν τα σημεία S , T

, είναι αντιδιαμετρικά , υπολογίστε το : $\cos\widehat{B}$ .

#2

KARKAR έγραψε: Παρ Απρ 28, 2023 2:33 pm Αδιανόητο συνημίτονο.pngΜε διάμετρο την κάθετη πλευρά του ορθογωνίου τριγώνου , γράφουμε κύκλο ,

ο οποίος τέμνει την υποτείνουσα στο σημείο και την διχοτόμο της $\widehat{B}$ στο σημείο ,

εκτός του τριγώνου . Αν τα σημεία , είναι αντιδιαμετρικά , υπολογίστε το : $\cos\widehat{B}$ .

Οι

τέμνονται στο

και έστω

η προβολή του

στην

Είναι

και

Από το εγγράψιμο BANK

είναι:

: Αδιανόητο συνημίτονο.png (19.15 KiB) Προβλήθηκε 637 φορές

$\displaystyle CN \cdot b = CK \cdot a = (a - c)a \Leftrightarrow CN = \frac{{a(a - c)}}{b}$

$\displaystyle \cos B = \frac{c}{a} = \frac{{BK}}{{BC}} = \frac{{KN}}{{CT}} = \frac{{KN}}{{SA}} = \frac{{CN}}{b} = \frac{{a(a - c)}}{{{b^2}}} \Leftrightarrow \frac{c}{a} = \frac{{a(a - c)}}{{(a - c)(a + c)}} \Leftrightarrow$

$\displaystyle {c^2} + ac - {a^2} = 0 \Leftrightarrow$ $\boxed{\cos B = \frac{c}{a} = \frac{{\sqrt 5 - 1}}{2}}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: Παρ Απρ 28, 2023 2:33 pm Αδιανόητο συνημίτονο.pngΜε διάμετρο την κάθετη πλευρά του ορθογωνίου τριγώνου , γράφουμε κύκλο ,

ο οποίος τέμνει την υποτείνουσα στο σημείο και την διχοτόμο της $\widehat{B}$ στο σημείο ,

εκτός του τριγώνου . Αν τα σημεία , είναι αντιδιαμετρικά , υπολογίστε το : $\cos\widehat{B}$ .

Το

προφανώς είναι ορθογώνιο.Ας είναι $CT \cap BA=L$ και $TQ \bot BL$ .

Επειδή $CB//AT \Rightarrow TA=AB$ , συνεπώς τα ορθογώνια τρίγωνα BAS,TAQ

είναι ίσα.

Άρα AQ=BS

και

οπότε προφανώς και τα ορθογώνια τρίγωνα ACS,TQL

είναι ίσα,άρα CS=QL

Έτσι,

,οπότε $CB^2=BA.BL \Rightarrow a^2=c(c+a) \Rightarrow cosB= \dfrac{c}{a}= \dfrac{ \sqrt{5}-1 }{2} = \dfrac{1}{ \Phi }$

: Αδιανόητο συνημίτονο.png (48.66 KiB) Προβλήθηκε 599 φορές

#4

KARKAR έγραψε: Παρ Απρ 28, 2023 2:33 pm Αδιανόητο συνημίτονο.pngΜε διάμετρο την κάθετη πλευρά του ορθογωνίου τριγώνου , γράφουμε κύκλο ,

ο οποίος τέμνει την υποτείνουσα στο σημείο και την διχοτόμο της $\widehat{B}$ στο σημείο ,

εκτός του τριγώνου . Αν τα σημεία , είναι αντιδιαμετρικά , υπολογίστε το : $\cos\widehat{B}$ .

Επειδή ,

θα είναι : $\widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _3}}\,\, \Rightarrow \widehat {{\theta _2}} = \widehat {{\theta _3}} \Leftrightarrow AB = AT = SC$ .

: Αδιανότητο συνημίτονο_1.png (16.3 KiB) Προβλήθηκε 561 φορές

Από τη δύναμη του

ως προς τον κύκλο έχω: $B{A^2} = BS \cdot BC \Leftrightarrow S{C^2} = BS \cdot BC\,$

Κλασσική περίπτωση διαίρεσης του

από το

, σε μέσο κι άκρο λόγο .

$\left\{ \begin{gathered} \cos \theta = \frac{{AS}}{{AC}} \hfill \\ \cos B = \frac{{SB}}{{AB}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \boxed{\cos B = \frac{{AS}}{{AC}} = \frac{{SB}}{{AB}} = \frac{{SB}}{{SC}} = \frac{1}{\varphi }}$

Αδιανόητο συνημίτονο

Αδιανόητο συνημίτονο

Re: Αδιανόητο συνημίτονο

Re: Αδιανόητο συνημίτονο

Re: Αδιανόητο συνημίτονο

Μέλη σε σύνδεση