μέγιστο εμβαδόν

#1

Στο εσωτερικό κυρτής γωνίας $\widehat{O}$ έχουμε σημείο

Γωνία σταθερού μέτρου με κορυφή το

περιστρέφεται και οι πλευρές της τέμνουν τις πλευρές της γωνίας $\widehat{O}$ στα σημεία P , T

, σχηματίζοντας το κυρτό τετράπλευρο TOPS

.

α) το μέγιστο εμβαδόν του τετραπλεύρου TOPS

επιτυγχάνεται όταν είναι : SP=ST

γ) Να κατασκευάσετε το συγκεκριμένο σχήμα, χωρίς υπολογισμούς.

#2

rek2 έγραψε: Τρί Μάιος 23, 2023 4:40 pm Στο εσωτερικό κυρτής γωνίας $\widehat{O}$ έχουμε σημείο

Γωνία σταθερού μέτρου με κορυφή το περιστρέφεται και οι πλευρές της τέμνουν τις πλευρές της γωνίας $\widehat{O}$ στα σημεία , σχηματίζοντας το κυρτό τετράπλευρο .

α) το μέγιστο εμβαδόν του τετραπλεύρου επιτυγχάνεται όταν είναι :

γ) Να κατασκευάσετε το συγκεκριμένο σχήμα, χωρίς υπολογισμούς.

Για την κατασκευή.

: Μέγιστο εμβαδόν.ΚΡ.png (10.94 KiB) Προβλήθηκε 2112 φορές

Έστω $\theta$ η γωνία σταθερού μέτρου. Επί της πλευράς

θεωρώ τα σημεία A, B

ώστε $S\widehat AB=\theta$ και AB=AS

όπως φαίνεται στο σχήμα. Το

είναι σημείο της

ώστε

και το

σημείο της

ώστε $T\widehat SP=\theta$

και ολοκληρώνεται η κατασκευή.

#3

Επειδή

όπου

οι προβολές του σταθερού σημείου

επί των πλευρών της γωνίας $\phi$ (βλέπε συνημμένο), και τα εμβαδά (ROS), (QOS)

είναι σταθερά, αρκεί να ελαχιστοποιηθεί το άθροισμα εμβαδών (RTS)+(QPS)

, αρκεί δηλαδή να ελαχιστοποιηθεί το άθροισμα

$|TR|\cdot |SR|+|PQ|\cdot |SQ|=(tcos\eta)\cdot v+(pcos\gamma)\cdot u=\dfrac{v^2}{tan\eta}+\dfrac{u^2}{tan\gamma}.$

Εύκολα έχουμε $\eta = \phi + \theta - \gamma,$ όπου $\phi, \theta$ σταθερές, οπότε θέτοντας $f(\gamma )=\dfrac{v^2}{tan\eta}+\dfrac{u^2}{tan\gamma}$ προκύπτουν οι

$f'(\gamma)=\dfrac{v^2}{sin^2\eta}-\dfrac{u^2}{sin^2\gamma}$ και $f''(\gamma)=\dfrac{2v^2cos\eta}{sin^3\eta}+\dfrac{2u^2cos\gamma}{sin^3\gamma}>0.$

Προκύπτει άμεσα από τα παραπάνω ότι έχουμε ελαχιστοποίηση για $f'(\gamma)=0$ και $\dfrac{v}{sin\eta}=\dfrac{u}{sin\gamma},$ όταν δηλαδή ST=SP

.

: TOPS.png (8.34 KiB) Προβλήθηκε 2054 φορές

#4

gbaloglou έγραψε: Πέμ Μάιος 25, 2023 1:35 am Επειδή όπου οι προβολές του σταθερού σημείου επί των πλευρών της γωνίας $\phi$ (βλέπε συνημμένο), και τα εμβαδά είναι σταθερά, αρκεί να ελαχιστοποιηθεί το άθροισμα εμβαδών , αρκεί δηλαδή να ελαχιστοποιηθεί το άθροισμα

$|TR|\cdot |SR|+|PQ|\cdot |SQ|=(tcos\eta)\cdot v+(pcos\gamma)\cdot u=\dfrac{v^2}{tan\eta}+\dfrac{u^2}{tan\gamma}.$

Εύκολα έχουμε $\eta = \phi + \theta - \gamma,$ όπου $\phi, \theta$ σταθερές, οπότε θέτοντας $f(\gamma )=\dfrac{v^2}{tan\eta}+\dfrac{u^2}{tan\gamma}$ προκύπτουν οι

$f'(\gamma)=\dfrac{v^2}{sin^2\eta}-\dfrac{u^2}{sin^2\gamma}$ και $f''(\gamma)=\dfrac{2v^2cos\eta}{sin^3\eta}+\dfrac{2u^2cos\gamma}{sin^3\gamma}>0.$

Προκύπτει άμεσα από τα παραπάνω ότι έχουμε ελαχιστοποίηση για $f'(\gamma)=0$ και $\dfrac{v}{sin\eta}=\dfrac{u}{sin\gamma},$ όταν δηλαδή .

TOPS.png

Σωστά όσον αφορά την $f'(\gamma)=0$ , αλλά χρειάζεται προσοχή όσον αφορά την $f''(\gamma)>0$ : μπορεί κάλλιστα να ισχύει η αντίστροφη ανισότητα, οπότε έχουμε ελαχιστοποίηση, όχι μεγιστοποίηση, του εμβαδού (μέσω μεγιστοποίησης της

)! Αν για παράδειγμα $\phi=60^0, u=4, v=3, \gamma=150^0$ , τότε -- βλέπε 'κεντρικό κλάδο' στο συνημμένο -- έχουμε (αρνητικό) μέγιστο της

για $\gamma \approx 1,3428\approx 77^0$ (και $\eta \approx 210^0-77^0=133^0$ ) και αντίστοιχη ελαχιστοποίηση εμβαδού (TOPS).

[Δεν βρήκα, εδώ και καιρό, την απαραίτητη ενέργεια για πλήρη διερεύνηση του προβλήματος... Ίσως κάποτε επανέλθω, ας το δουν και άλλοι...]

: ελάχιστο-εμβαδόν.png (42.99 KiB) Προβλήθηκε 1934 φορές

S.E.Louridas · #5

rek2 έγραψε: Τρί Μάιος 23, 2023 4:40 pm Στο εσωτερικό κυρτής γωνίας $\widehat{O}$ έχουμε σημείο
Γωνία σταθερού μέτρου με κορυφή το περιστρέφεται και οι πλευρές της τέμνουν τις πλευρές της γωνίας $\widehat{O}$ στα σημεία , σχηματίζοντας το κυρτό τετράπλευρο .
α) το μέγιστο εμβαδόν του τετραπλεύρου επιτυγχάνεται όταν είναι :
γ) Να κατασκευάσετε το συγκεκριμένο σχήμα, χωρίς υπολογισμούς.

Επιτρέψτε μου, τώρα που έχω χρόνο, να σας καταθέσω την ημέτερη διαπραγμάτευση στο καλό αυτό θέμα μετά από την άριστη πράγματι διαπραγμάτευση του φίλου Γιώργου.

Μία Διαπραγμάτευση στο καλό αυτό θέμα.
Στο σχήμα που ακολουθεί το σημείο

είναι σταθερό και όπως δηλώνεται εκεί. Τότε το ισοσκελές, στη τυχούσα θέση, τρίγωνο STM

διατηρεί τις γωνίες του καθ΄ όλη τη διάρκεια της κίνησης στο πρόβλημα.

Ο περιγεγραμμένος του κύκλος (d)

τέμνει την

στο σημείο

που είναι σταθερό αφού έχουμε $\angle SFT = \angle SMT = \frac{\pi }{2} - \frac{{\angle TSM}}{2}\;\,ct.$

Από την άλλη μεριά το σημείο

θα κινείται στη σταθερή ημιευθεία

που είναι σταθερή αφού $\angle MFy = \pi - \angle TSM\;\,ct.$

Αν

είναι το σημείο τομής των ημιευθειών Fh, Ox

, τότε ονομάζουμε

τη τομή της

με τον κύκλο (S, SP΄)

, ώστε $\angle T'SP' = \angle TSP$ και έτσι παίρνουμε το τετράπλευρο $ST'OP'\;\mu \varepsilon \;ST' = SP'.$

Διαπιστώνουμε τώρα ότι καθ΄ όλη τη διάρκεια της κίνησης ισχύει $\left( {STT'} \right) \leq \left( {SPP'} \right) \Rightarrow \left( {STOP} \right) \leq \left( {ST'OP'} \right).$

Όπως θα διαπιστώσατε, ήδη έχει γίνει και η ζητούμενη κατασκευή και είναι η του ST'OP'.

Ακολουθεί το σχήμα με δεδομένα.

: 1234.png (73.41 KiB) Προβλήθηκε 1758 φορές

edit: Επανατοποθέτηση του σχήματος.

#6

Πανέμορφη η προσέγγιση σου, Σωτήρη, και δείχνει, νομίζω, την υπεροχή της παραδοσιακής Γεωμετρίας! Χρειάζεται πάντως προσοχή και διερεύνηση όσον αφορά την περίπτωση που έχουμε ελάχιστο αντί μέγιστο (ξεκάθαρο στην περίπτωση που η περί το

γωνία ( $\theta$ ) είναι αρκούντως αμβλεία), όπως και την περίπτωση αδυνατότητας της SP=ST

(προφανής όταν και οι δύο σταθερές γωνίες ( $\phi, \theta$ ) είναι ορθές), κλπ Το συνημμένο απλ(οϊκ)ά υπαινίσσεται, με αφορμή το σχήμα σου, πως μία μικρή αλλαγή δεδομένων οδηγεί στην περίπτωση του ελαχίστου. Έχω κάποιες σκέψεις -- και τύπους -- που ελπίζω να παρουσιάσω εδώ αργότερα.

: T''OP''S.png (46.69 KiB) Προβλήθηκε 1804 φορές

S.E.Louridas · #7

rek2 έγραψε: Τρί Μάιος 23, 2023 4:40 pm Στο εσωτερικό κυρτής γωνίας $\widehat{O}$ έχουμε σημείο
Γωνία σταθερού μέτρου με κορυφή το περιστρέφεται και οι πλευρές της τέμνουν τις πλευρές της γωνίας $\widehat{O}$ στα σημεία , σχηματίζοντας το κυρτό τετράπλευρο .

α) το μέγιστο εμβαδόν του τετράπλευρου επιτυγχάνεται όταν είναι :

β) Να κατασκευάσετε το συγκεκριμένο σχήμα, χωρίς υπολογισμούς.

Θεώρησα εκ προοιμίου Γιώργο ότι ο Κώστας εννοούσε: ... αν και κατά τη φάση που SP=ST

, τα σημεία P, T

διατηρούνται διάφορα της κορυφής

και ως σημεία των ημιευθειών Ox, Oy

αντίστοιχα, σχηματίζοντας το κυρτό επίσης τετράπλευρο TOPS.

Κατά τα άλλα ΝΑΙ Γιώργο σε Μαθηματικά θέματα που εμπεριέχουν κίνηση η Διερεύνηση είναι (και πρέπει να είναι) αναπόσπαστο Μέρος της επίλυσης.

#8

S.E.Louridas έγραψε: Τετ Ιουν 07, 2023 11:56 pm
rek2 έγραψε: Τρί Μάιος 23, 2023 4:40 pm Στο εσωτερικό κυρτής γωνίας $\widehat{O}$ έχουμε σημείο
Γωνία σταθερού μέτρου με κορυφή το περιστρέφεται και οι πλευρές της τέμνουν τις πλευρές της γωνίας $\widehat{O}$ στα σημεία , σχηματίζοντας το κυρτό τετράπλευρο .

α) το μέγιστο εμβαδόν του τετράπλευρου επιτυγχάνεται όταν είναι :

β) Να κατασκευάσετε το συγκεκριμένο σχήμα, χωρίς υπολογισμούς.

Θεώρησα εκ προοιμίου Γιώργο ότι ο Κώστας εννοούσε: ... αν και κατά τη φάση που , τα σημεία διατηρούνται διάφορα της κορυφής και ως σημεία των ημιευθειών αντίστοιχα, σχηματίζοντας το κυρτό επίσης τετράπλευρο
Κατά τα άλλα ΝΑΙ Γιώργο σε Μαθηματικά θέματα που εμπεριέχουν κίνηση η Διερεύνηση είναι (και πρέπει να είναι) αναπόσπαστο Μέρος της επίλυσης.

Σωτήρη όντως τα πράγματα θα έμπλεκαν πολύ αν πηγαίναμε από τις ημιευθείες στις ευθείες, από τα κυρτά στα μη κυρτά, κλπ Προς το παρόν δεν έχω αποτολμήσει κάτι τέτοιο, στην δημοσίευση #4 για παράδειγμα. Πιστεύω ότι μία βήμα προς βήμα επανεξέταση της γεωμετρικής σου προσέγγισης θα μας έδινε γεωμετρικό κριτήριο για το πότε έχουμε μέγιστο ή ελάχιστο, και ελπίζω να γίνει κάτι τέτοιο και με την δική μου προσέγγιση.

[Αναφέρω και πάλι το παράδειγμα των δύο ορθών γωνιών: αν το

κείται επί της διχοτόμου τότε το εμβαδόν (TOPS)

παραμένει σταθερό, αν όχι τότε είναι αδύνατη η SP=ST

.]

S.E.Louridas · #9

Ένα αρχικό γεωμετρικό κριτήριο Γιώργο είναι:
Ο γεωμετρικός τόπος

, που έχω καταλήξει στην διαπραγμάτευση μου να τέμνει την ημιευθεία Ox.

Πράγματι το ορθό Αδύνατο που αναφέρεις προκύπτει από την παραλληλία των Fh, Ox.

#10

Στο σχήμα του Γιώργου, στην δεύτερη ανάρτηση, έχουμε την κατασκευή, όπου επιτυγχάνεται η ισότητα ST=SP

, και, θα δείξουμε ότι το τετράπλευρο TOPS

έχει το μέγιστο εμβαδόν.

Έστω $\angle T'SP'$ μια άλλη τυχαία θέση της μεταβλητής γωνίας, και ας πούμε ότι το

βρίσκεται μεταξύ των σημείων T, O.

Το

θα βρίσκεται εκτός του τμήματος

.

Έστω

το σημείο τομής των τμημάτων

και

Τα τρίγωνα STD

και

είναι ίσα, γιατί έχουν τις πλευρές τους ST, SP

ίσες και τις προσκείμενες γωνίες τους ίσες ( απλό και γρήγορο παρατηρώντας ότι το STPB

είναι εγγράψιμο), οπότε, άμεσα (T'OP'S)<(TOPS)

, όπως θέλαμε.

Παρόμοια εργαζόμαστε όταν το

βρίσκεται εκτός του τμήματος OT.

#11

rek2 έγραψε: Σάβ Ιουν 10, 2023 2:49 am Στο σχήμα του Γιώργου, στην δεύτερη ανάρτηση, έχουμε την κατασκευή, όπου επιτυγχάνεται η ισότητα , και, θα δείξουμε ότι το τετράπλευρο έχει το μέγιστο εμβαδόν.

Έστω $\angle T'SP'$ μια άλλη τυχαία θέση της μεταβλητής γωνίας, και ας πούμε ότι το βρίσκεται μεταξύ των σημείων Το θα βρίσκεται εκτός του τμήματος .

Έστω το σημείο τομής των τμημάτων και

Τα τρίγωνα και είναι ίσα, γιατί έχουν τις πλευρές τους ίσες και τις προσκείμενες γωνίες τους ίσες ( απλό και γρήγορο παρατηρώντας ότι το είναι εγγράψιμο), οπότε, άμεσα , όπως θέλαμε.

Παρόμοια εργαζόμαστε όταν το βρίσκεται εκτός του τμήματος

Κώστα πολύ ωραία, σε αρκετές περιπτώσεις όμως ο ίδιος ο συλλογισμός σου οδηγεί σε ελάχιστο αντί για μέγιστο: παραθέτω στο συνημμένο τόσο το σχήμα του Γιώργου (#2) όσο και το δικό μου (#4) προσθέτοντας σ' αυτό την κατασκευή του Γιώργου (εξακολουθεί να ισχύει παρά τις αλλαγές στο σχήμα) ... και δείχνω πως και που η ανισότητα εμβαδών αναστρέφεται:

: (TOPS)-vs-(T'OP'S).png (88.74 KiB) Προβλήθηκε 1571 φορές

#12

Γιώργο Σωτήρη και Γιώργο, το θέμα το ... εξόρυξα από τον σύνδεσμο

viewtopic.php?t=73882#p358036

Είναι, σαν να λέμε, μια απόπειρα γενίκευσης του εκεί θέματος. Δεν έκανα διερεύνηση ως προς το μέγεθος των γωνιών κ.λπ. Βλέποντας την παρουσίασή σου αντιλήφθηκα το βάθος του!

Να περνάτε πάντα καλά, με υγεία και αισιοδοξία!!

S.E.Louridas · #13

rek2 έγραψε: Σάβ Ιουν 10, 2023 7:13 pm Γιώργο Σωτήρη και Γιώργο, το θέμα το ... εξόρυξα από τον σύνδεσμο
viewtopic.php?t=73882#p358036
Είναι, σαν να λέμε, μια απόπειρα γενίκευσης του εκεί θέματος. Δεν έκανα διερεύνηση ως προς το μέγεθος των γωνιών κ.λπ. Βλέποντας την παρουσίασή σου αντιλήφθηκα το βάθος του!
Να περνάτε πάντα καλά, με υγεία και αισιοδοξία!!

Κώστα εγώ ξέρω ότι η όλη εδώ διερευνητική πλοκή δίδαξε ουσιαστικά. Έτσι το θέμα που έθεσες έγινε αφορμή να δούνε οι νεότεροι τη δύναμη της ύψιστης μαθηματικής και απαραίτητης διαδικασίας που είναι η ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ. Αυτή είναι η άποψη μου και με την ευκαιρία τη καταθέτω.

#14

Καταθέτω κάπως βιαστικά κάποιες σκέψεις διερευνητικές -- με την δική μας έννοια, και σε τρία επίπεδα -- μια και δεν ξέρω αν και πότε θα έχω την δυνατότητα να ασχοληθώ ξανά μ' αυτό το πρόβλημα:

(Ι) Με βάση την κατασκευή του Γιώργου (#2) προκύπτει άμεσα ότι το πρόβλημα δεν έχει λύση στην περίπτωση όπου $\phi +\theta \geq 180^0$ : πράγματι, αν $\phi +\theta \geq 180^0$ τότε η εκ του

παράλληλος προς την

δεν τέμνει την

. [Αν θυμάμαι σωστά, αυτό προκύπτει και από την δια του Λογισμού διερεύνηση του προβλήματος -- ο οποίος Λογισμός, ειρήσθω εν παρόδω, μας πρωτοέδειξε (#4) την δυνατότητα ύπαρξης ελαχίστου αντί μεγίστου, και μας θύμησε πόσο προσεκτικοί οφείλουμε να είμαστε όσον αφορά τον αμφίσημο ρόλο του σχήματος στην λατρεμένη κατά τα άλλα Γεωμετρία

]

(ΙΙ) Έχοντας εξασφαλίσει την ύπαρξη της τομής

της

-παραλλήλου με την

, οφείλουμε βεβαίως να εξασφαλίσουμε και την θέση στου

στα δεξιά του

: αυτή η θέση είναι βεβαίως ισοδύναμη προς την OQ+QA-SA>0,

όπου

η προβολή του

επί της

, και τελικά στην

$\dfrac{1}{tan\phi _1}+\dfrac{1}{tan\theta}-\dfrac{1}{sin\theta}>0,$

όπου $\phi _1=SOA$ και, με λίγη περισσότερη δουλειά, $tan\phi _1=\dfrac{-(u+v)\pm\sqrt{(u+v)^2+4uvtan^2\phi }}{2vtan\phi}$ με u=SQ, v=SR

(όπως στην #3). [Ήδη εμφανίζονται τα πρώτα σύννεφα αν προσπαθήσουμε να επιλέξουμε ανάμεσα στο

και στο

]

(III) Έχοντας εξασφαλίσει τα νώτα μας (

και

) ... οφείλουμε επίσης να εξασφαλίσουμε την θέση του

στα δεξιά του

! Εδώ ξεκινώντας όχι από την $TSP=\theta$ αλλά από την ST=SP

(το αποτέλεσμα δηλαδή και όχι την διαδικασία της κατασκευής του Γιώργου) και θέτοντας S=(s_1,s_2), T=(t_1, t_2), P=(x,0)

... συμπεραίνουμε μέσω της ζητούμενης x>0

ότι οφείλει να ισχύει η

$s_1\pm \sqrt{s_1^2+t_1^2+t_2^2-2s_1t_1-2s_2t_2}>0$

... και εδώ αρχίζουν τα δύσκολα καθώς, όπως και στο (ΙΙ) αλλά και στην μέσω Λογισμού προσέγγιση, υπάρχει δυσκολία επιλογής ανάμεσα στο

και στο

Αν πάμε με το

τότε χρειαζόμαστε την $OT<2s_1cos\phi +2s_2sin\phi$ , έχοντας στην διάθεση μας και την $OT=\dfrac{sin\theta}{sin(\theta+\phi)}OB$ , όπου $OB=\left(\dfrac{1}{tan\phi _1}+\dfrac{1}{tan\theta}-\dfrac{1}{sin\theta}\right)u$ . [Παίζει πάντως και το

, ιδίως στην περίπτωση αμβλείας γωνίας $\theta$ ...]

Έχοντας καταδείξει τις δυσκολίες της διερεύνησης ... σταματώ εδώ με την ελπίδα να επανέλθω κάποτε ... ιδίως με την δια του Λογισμού διερεύνηση ... τονίζοντας πάντως ότι είναι ίσως καλύτερα να μείνουμε σε γεωμετρικές και όχι αναλυτικές συνθήκες (για τα (ΙΙ) και (ΙΙΙ))...

μέγιστο εμβαδόν

μέγιστο εμβαδόν

Re: μέγιστο εμβαδόν

Re: μέγιστο εμβαδόν

Re: μέγιστο εμβαδόν

Re: μέγιστο εμβαδόν

Re: μέγιστο εμβαδόν

Re: μέγιστο εμβαδόν

Re: μέγιστο εμβαδόν

Re: μέγιστο εμβαδόν

Re: μέγιστο εμβαδόν

Re: μέγιστο εμβαδόν

Re: μέγιστο εμβαδόν

Re: μέγιστο εμβαδόν

Re: μέγιστο εμβαδόν

Μέλη σε σύνδεση