Που είναι το τρία ;

KARKAR · #1

: Που είναι το 3.png (13.8 KiB) Προβλήθηκε 778 φορές

Στο εγγεγραμμένο τρίγωνο AOB

του σχήματος σε κύκλο (K)

, υπολογίστε την $\tan\theta$ .

#2

KARKAR έγραψε: Παρ Αύγ 02, 2024 9:34 am Που είναι το 3.pngΣτο εγγεγραμμένο τρίγωνο του σχήματος σε κύκλο , υπολογίστε την $\tan\theta$ .

Με τους συμβολισμούς του σχήματος και τις δοσμένες συντεταγμένες βρίσκω $AO=2\sqrt 5, AC=4\sqrt 2.$

: Πού είναι το 3.png (15.52 KiB) Προβλήθηκε 769 φορές

$\displaystyle 12 = (AOC) = \frac{{2\sqrt 5 \cdot 4\sqrt 2 \cdot 6}}{{4R}} \Leftrightarrow R = \sqrt {10}.$ Εύκολα τώρα KM=1

και $\displaystyle \tan \varphi = \frac{4}{3},\tan \omega = \frac{1}{3}$

$\displaystyle \tan \theta = \tan (\varphi + \omega ) = \frac{{\frac{4}{3} + \frac{1}{3}}}{{1 - \frac{4}{9}}} \Leftrightarrow$ $\boxed{ \tan \theta = 3}$

#3

KARKAR έγραψε: Παρ Αύγ 02, 2024 9:34 am Που είναι το 3.pngΣτο εγγεγραμμένο τρίγωνο του σχήματος σε κύκλο , υπολογίστε την $\tan\theta$ .

Αφού

σημαίνει ότι η τετμημένη του

(το οποίο βρίσκεται στην μεσοκάθετο του

) είναι

. Άρα είναι K(3,a)

. Αφού

έχουμε $\sqrt {3^2+a^2} = \sqrt { (3-2)^2+(a-4)^2}$ . Λύνοντας (ανάγεται σε πρωτοβάθμια) θα βρούμε a=1

,οπότε το

είναι το

. Επίσης είναι T(5,0)

.

Tώρα, οι εξισώσεις των ευθειών OK, AT

είναι αντίστοιχα $y=\dfrac {x}{3}$ και $y = -\frac {4}{3}x+\frac {20}{3}$ (άμεσο), δηλαδή έχουν κλίσεις $\dfrac {1}{3}$ και $-\dfrac {4}{3}.$ Άρα η ζητούμενη εφαπτομένη είναι

$\displaystyle{ \dfrac {-\frac {4}{3}-\frac {1}{3}}{1-\left (-\frac {4}{3} \right )\left (\frac {1}{3}\right) }= 3 }$

Edit. Με πρόλαβε ο Γιώργος, με λιγότερες πράξεις.

Ιστοσελίδα · #4

KARKAR έγραψε: Παρ Αύγ 02, 2024 9:34 am Στο εγγεγραμμένο τρίγωνο του σχήματος σε κύκλο , υπολογίστε την $\tan\theta$ .

: shape.png (31.01 KiB) Προβλήθηκε 744 φορές

#5

KARKAR έγραψε: Παρ Αύγ 02, 2024 9:34 am Που είναι το 3.pngΣτο εγγεγραμμένο τρίγωνο του σχήματος σε κύκλο , υπολογίστε την $\tan\theta$ .

$\overrightarrow {AC} = \left( {4, - 4} \right)$ με σ. διεύθυνσης

. συνεπώς η $AC:\,\,x + y - 6 = 0$ . Η οικογένεια των κύκλων που διέρχονται από τα A,C

έχει εξίσωση :

$\left( {x - 6} \right)\left( {x - 2} \right) + \left( {y - 0} \right)\left( {y - 4} \right) + k\left( {x + y - 6} \right) = 0$ με

παράμετρος . Κι αν διέρχονται από την αρχή θα επαληθεύονται απ’ αυτό.

Δηλαδή , k = 2

και ο κύκλος $\left( {O,A,C} \right) \to {x^2} + {y^2} - 6x - 2y = 0$ που προφανώς έχει κέντρο το $K\left( {3\,\,,1\,} \right)$ .

: Που ειναι το τρία.png (21.91 KiB) Προβλήθηκε 681 φορές

Από δω και πέρα σαν τον κ. Λάμπρου. $\overrightarrow {AT} = \left( {\,3,\, - 4} \right)$ με συντ. διεύθυνσης, ${\lambda _1} = - \dfrac{4}{3}$

ενώ ο συντ. διεύθυνσης του $\overrightarrow {OK} = \left( {3,1} \right)$ είναι ${\lambda _2} = \dfrac{1}{3}$ . Συνεπώς: $\displaystyle \boxed{\tan \theta = \dfrac{{{\lambda _2} - {\lambda _1}}}{{1 + {\lambda _2}{\lambda _1}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{3} - \left( { - \dfrac{4}{3}} \right)}}{{1 + \dfrac{1}{3} \cdot \left( { - \dfrac{4}{3}} \right)}} = 3}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #6

KARKAR έγραψε: Παρ Αύγ 02, 2024 9:34 am Που είναι το 3.pngΣτο εγγεγραμμένο τρίγωνο του σχήματος σε κύκλο , υπολογίστε την $\tan\theta$ .

Επειδή $AD=DC=4\Rightarrow \angle ACD=45^0 \Rightarrow \triangle AOE$ ορθογώνιο ισοσκελές ,άρα $AK \bot OE$

Άρα, $\angle KDZ=45^0 \Rightarrow KZ=DZ=1$

Επιπλέον είναι TA=TO=5

,άρα

μεσοκάθετη της

,συνεπώς $\angle A_{1} = \angle A_{2}= \angle O_{1}$

Έτσι ,όλες οι μπλε γωνίες του σχήματος είναι ίσες,επομένως $tan \theta = \dfrac{OZ}{KZ}= \dfrac{3}{1} =3$

: που είναι το τρία.png (60.75 KiB) Προβλήθηκε 676 φορές

Που είναι το τρία ;

Που είναι το τρία ;

Re: Που είναι το τρία ;

Re: Που είναι το τρία ;

Re: Που είναι το τρία ;

Re: Που είναι το τρία ;

Re: Που είναι το τρία ;

Μέλη σε σύνδεση