Εντός των συνόρων

KARKAR · #1

Αν :

, ποια είναι η ελάχιστη τιμή του : x^2+y^2

;

#2

KARKAR έγραψε: Σάβ Νοέμ 02, 2024 12:41 pm Αν : , ποια είναι η ελάχιστη τιμή του : ;

Η δοθείσα γράφεται (x+3)^2+(y-4)^2=8^2

, που είναι ο εικονιζόμενος κύκλος κέντρου (-3,4)

και ακτίνας

. Θέλουμε λοιπόν το ελάχιστο του τετραγώνου της απόστασης από το κέντρο των αξόνων ενός σημείου που διατρέχει τον κύκλο. Γεωμετρικά σκεπτόμενοι, πρόκειται για την απόσταση

επί της διαμέτρου από το

(γνωστή ιδιότητα). Το ελάχιστο αυτό είναι

$BC=AC-AB= 8-\sqrt {3^2+4^2}= 3$

Αν θέλουμε και τις συντεταγμένες του σημείου που δίνει το ελάχιστο, δεν έχουμε παρά να λύσουμε το σύστημα που προκύπταει από την ευθεία της διαμέτρου και του κύκλου. Θα βρούμε $x= \frac {9}{5}, \, y= -\frac {12}{5}$ .
.

ksofsa · #3

Καλησπέρα.

Διαφορετικά:

Έστω a^2

το ζητούμενο ελάχιστο και $(x_{0},y_{0})$ το σημείο ελαχιστοποίησης.

Το σημείο αυτό ανήκει στην ευθεία 39-6x+8y=a^2

και

$d((x_{0},y_{0}),(0,0))\ge d(\left\{ 39-6x+8y=a^2 \right\},(0,0))$

(δηλαδή η απόσταση της αρχής των αξόνων από το σημείο είναι μεγαλύτερη ή ίση με την απόσταση της αρχής από την ευθεία)

Οπότε, $a\ge \dfrac{39-a^2}{10}\Rightarrow (a+13)(a-3)\ge 0\Rightarrow a\ge 3$ .

Η τιμή

πιάνεται, διότι το σύστημα x^2+y^2=9,30-6x+8y=0

έχει λύση. Πράγματι, η ύπαρξη λύσης (και μάλιστα μοναδικής) κατοχυρώνεται από το γεγονός ότι η εν λόγω ευθεία εφάπτεται στον κύκλο, αφού η απόστασή της από το κέντρο του είναι όση και η ακτίνα του.

Προσθήκη: Για να είμαστε απόλυτα σωστοί, θα έπρεπε στην παραπάνω ανισότητα να βάλουμε την ποσότητα 39-a^2

σε απόλυτο και να διακρίνουμε περιπτώσεις για το πρόσημό της (διότι ο τύπος απόστασης σημείου ευθείας έχει απόλυτο). Όμως, στην περίπτωση που έχει αρνητικό πρόσημο, το

έχει πάλι τιμή μεγαλύτερη είτε ίση του

(ισχύει μάλιστα a^2>39

).

Εντός των συνόρων

Εντός των συνόρων

Re: Εντός των συνόρων

Re: Εντός των συνόρων

Μέλη σε σύνδεση