Άπαξ ακέραιος , πάντα ακέραιος

KARKAR · #1

Έστω : $x+\dfrac{1}x=a$ , $a \geq 3$ , θετικός ακέραιος . Να εξετασθεί αν αληθεύει ο ισχυρισμός , ότι ο αριθμός :

$x^n+\dfrac{1}{x^n} , n\in \mathbb{N}$ , είναι επίσης θετικός ακέραιος . Τι συμβαίνει στις περιπτώσεις : a=2

, ή :

;

abgd · #2

KARKAR έγραψε: Τετ Νοέμ 27, 2024 9:52 am Έστω : $x+\dfrac{1}x=a$ , $a \geq 3$ , θετικός ακέραιος . Να εξετασθεί αν αληθεύει ο ισχυρισμός , ότι ο αριθμός :

$x^n+\dfrac{1}{x^n} , n\in \mathbb{N}$ , είναι επίσης θετικός ακέραιος . Τι συμβαίνει στις περιπτώσεις : , ή : ;

Έστω : $x+\dfrac{1}{x}=a$ , $a \geq 3$ , θετικός ακέραιος. Θα είναι $x^0+\dfrac{1}{x^0}=2$ .

Αν υποθέσουμε ότι για κάποιο θετικό ακέραιο

ισχύουν

$x^{n-1}+\dfrac{1}{x^{n-1}}=k$ , $k \geq 3$ , θετικός ακέραιος και $x^{n}+\dfrac{1}{x^{n}}=m$ , $m \geq 3$ θετικός ακέραιος τότε:

$x^{n+1}+\dfrac{1}{x^{n+1}}=x\left(m-\dfrac{1}{x^n}\right) +\dfrac{1}{x}(m-x^n)=ma-k$ , το οποίο είναι θετικός ακέραιος και έτσι

$x^n+\dfrac{1}{x^n} , n\in \mathbb{N}$ , είναι θετικός ακέραιος.

Στην περίπτωση που $x+\dfrac{1}{x}=2$ θα είναι και έτσι $x^n+\dfrac{1}{x^n}=2$ για κάθε φυσικό αριθμό .

Στην περίπτωση που $x+\dfrac{1}{x}=1$ ο αριθμός είναι μιγαδικός με $x^3=-1, \ \ x \ne -1$ και έτσι

$x^{3n}+\dfrac{1}{x^{3n}}=-2$ και $x^{3n+1}+\dfrac{1}{x^{3n+1}} =x^{3n+2}+\dfrac{1}{x^{3n+2}}=-1$ , για κάθε θετικό ακέραιο .

Άπαξ ακέραιος , πάντα ακέραιος

Άπαξ ακέραιος , πάντα ακέραιος

Re: Άπαξ ακέραιος , πάντα ακέραιος

Μέλη σε σύνδεση