4=7

KARKAR · #1

: 4=7.png (21.52 KiB) Προβλήθηκε 620 φορές

Το μικρότερο από τα δύο ομόκεντρα ημικύκλια , κοινού κέντρου

, έχει ακτίνα

και το μεγαλύτερο

.

Από σημείο

της προέκτασης της κοινής τους διαμέτρου , φέρω τα εφαπτόμενα τμήματα ST , SP

.

Αν

οι προβολές των T , P

στην διάμετρο , βρείτε τη θέση του

, ώστε :

.

#2

KARKAR έγραψε: Δευ Ιαν 13, 2025 7:07 am 4=7.pngΤο μικρότερο από τα δύο ομόκεντρα ημικύκλια , κοινού κέντρου , έχει ακτίνα και το μεγαλύτερο .

Από σημείο της προέκτασης της κοινής τους διαμέτρου , φέρω τα εφαπτόμενα τμήματα .

Αν οι προβολές των στην διάμετρο , βρείτε τη θέση του , ώστε : .

Θέτω

απ' όπου

Είναι $\displaystyle O{T^2} = OT' \cdot OS \Leftrightarrow OT' = \frac{{16}}{{x + 7}}$ και ομοίως

$OP' = \dfrac{{49}}{{x + 7}}.$ Στη συνέχεια εύκολα βρίσκω, $\displaystyle T'S = \frac{{{x^2} + 14x + 33}}{{(x + 7)}},P'S = \frac{{{x^2} + 14x}}{{x + 7}}$

: 4=7.png (19.24 KiB) Προβλήθηκε 603 φορές

Από την ισότητα των εμβαδών προκύπτει ότι $\displaystyle TT' \cdot T'S = PP' \cdot P'S,$ απ' όπου

$\displaystyle \sqrt {OT' \cdot T'S} \cdot T'S = \sqrt {OP' \cdot P'S} \cdot P'S \Leftrightarrow 16{({x^2} + 14x + 33)^3} = 49{({x^2} + 14x)^3}$

και με τη βοήθεια λογισμικού παίρνω $\boxed{ x = \sqrt {65 + 14\sqrt[3]{{14}} + 4\sqrt[3]{{196}}} - 7 \simeq 4,0443259}$

KARKAR · #3

: ΄Αξιον μελέτης.png (18.48 KiB) Προβλήθηκε 587 φορές

Μια παρατήρηση τουλάχιστον σπουδαιοφανής . Αν : OA=r , OB=R

, τότε :

,

με το

να είναι ένας πολύ μικρός θετικός αριθμός , π.χ. για : R=2r

, προκύπτει : $h\simeq 0.005940308$ .

#4

Να συμπληρώσω ότι στη λύση μου δεν χρειάζεται λογισμικό αφού $\displaystyle \sqrt[3]{{\frac{{49}}{{16}}}} = \frac{{{x^2} + 14x + 33}}{{{x^2} + 14x}},$ που στη

συνέχεια λύνεται ως δευτεροβάθμια. Απλώς τη στιγμή που την έλυνα μου φάνηκε καλύτερο να τη βάλω στον αυτόματο.

Στη γενική μορφή δίνει $\boxed{x = \sqrt {{R^2} + {r^2} + r\sqrt[3]{{r{R^2}}} + R\sqrt[3]{{R{r^2}}}} - R}$

KARKAR · #5

: 4-7.png (14.08 KiB) Προβλήθηκε 538 φορές

Εξ ίσου ενδιαφέρουσα ίσως , είναι η εξής παραλλαγή : Για : OA=r , OB=R , (R>r)

και :

, δείξτε ότι : (STT')>(SPP')

. Στη συνέχεια , για το αρχικό

παράδειγμα , βρείτε την διαφορά : (STT')-(SPP')

, αν :

.

#6

KARKAR έγραψε: Δευ Ιαν 13, 2025 7:46 pm 4-7.pngΕξ ίσου ενδιαφέρουσα ίσως , είναι η εξής παραλλαγή : Για :

και : , δείξτε ότι : . Στη συνέχεια , για το αρχικό

παράδειγμα , βρείτε την διαφορά : , αν : .

Ακολουθώντας την ίδια διαδικασία με τη παραπάνω ανάρτηση(#2) και για x=r,

παίρνω:

: 4=7.β.png (21.86 KiB) Προβλήθηκε 510 φορές

$\displaystyle (STT') - (SPP') = \frac{{rR(R + 2r)}}{{2{{(R + r)}^2}}}\sqrt {R(R + 2r)} - \frac{{rR(r + 2R)}}{{2{{(R + r)}^2}}}\sqrt {R(r + 2R)}$

$\displaystyle (STT') - (SPP') = \frac{{rR}}{{2{{(R + r)}^2}}}\left( {\sqrt {R{{(R + 2r)}^3}} - \sqrt {r{{(r + 2R)}^3}} } \right)$

Αλλά, $\displaystyle R{(R + 2r)^3} - r{(r + 2R)^3} = {R^4} - {r^4} - 2{R^3}r + 2{r^3}R = ({R^2} - {r^2}){(R - r)^2} > 0$

Άρα $\displaystyle R{(R + 2r)^3} > r{(r + 2R)^3}$ και το ζητούμενο έπεται.

Στο παράδειγμα με αντικατάσταση (και αν δεν έχει γίνει κάποιο λάθος) βρίσκω

$\displaystyle (STT') - (SPP') = \frac{{14}}{{121}}\left( {15\sqrt {105} - 108\sqrt 2 } \right)$

KARKAR · #7

Η απάντηση είναι απολύτως σωστή . Για να γίνει αντιληπτό για ποιες διαφορές μιλάμε , το πρώτο εμβαδό

είναι περίπου : 17,78396

, ενώ το δεύτερο : 17,67183

. Τουλάχιστον εντυπωσιακό

4=7

4=7

Re: 4=7

Re: 4=7

Re: 4=7

Re: 4=7

Re: 4=7

Re: 4=7

Μέλη σε σύνδεση