Παραπάνω δεν πάει

KARKAR · #1

: Παραπάνω δεν πάει.png (5.85 KiB) Προβλήθηκε 804 φορές

Του ορθογωνίου τριγώνου $ABC , ( \widehat{A}=90^0)$ , η κορυφή

είναι σταθερό σημείο του

, ενώ η

κινείται στον

. Το εμβαδόν του τριγώνου είναι σταθερά

. Βρείτε το μέγιστο ύψος του σημείου

.

Χρησιμοποιήστε το λογισμικό σας για να απολαύσετε τον γεωμετρικό τόπο του .

#2

KARKAR έγραψε: Σάβ Απρ 26, 2025 8:53 am Του ορθογωνίου τριγώνου $ABC , ( \widehat{A}=90^0)$ , η κορυφή είναι σταθερό σημείο του , ενώ η

κινείται στον . Το εμβαδόν του τριγώνου είναι σταθερά . Βρείτε το μέγιστο ύψος του σημείου .

Χρησιμοποιήστε το λογισμικό σας για να απολαύσετε τον γεωμετρικό τόπο του .

Θανάση καλημέρα και Χρόνια Πολλά...

Το θέμα σου είναι ωραίο!

Αναρτώ μια εικόνα από το γεωμετρικό αυτό τόπο και αργότερα

θα κάνω ολοκληρωμένη λύση...

: Παραπάνω δεν πάει 1.png (23.84 KiB) Προβλήθηκε 787 φορές

Κώστας Δόρτσιος

#3

KARKAR έγραψε: Σάβ Απρ 26, 2025 8:53 am Του ορθογωνίου τριγώνου $ABC , ( \widehat{A}=90^0)$ , η κορυφή είναι σταθερό σημείο του , ενώ η

κινείται στον . Το εμβαδόν του τριγώνου είναι σταθερά . Βρείτε το μέγιστο ύψος του σημείου .

Χρησιμοποιήστε το λογισμικό σας για να απολαύσετε τον γεωμετρικό τόπο του .

(Συνέχεια...)

Καλημέρα...

Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:

: Παραπάνω δεν πάει 2.png (22.22 KiB) Προβλήθηκε 716 φορές

Αναζητούμε τις συντεταγμένες του σημείου $\displaystyle{C=(m,n)) }$

Είναι:

$\displaystyle{(AB)=\sqrt{x^2+9} \ \ (1) }$

$\displaystyle{cos(\phi)=\frac{3}{\sqrt{x^2+9}} \ \ (2) }$

$\displaystyle{sin(\phi)=\frac{x}{\sqrt{x^2+9} \ \ (3) }$

Επίσης είναι:

$\displaystyle{E(ABC)=12 \Rightarrow \sqrt{x^2+9}\cdot h=24 \Rightarrow h=\frac{24}{\sqrt{x^2+9}} \ \ (4) }$

Από τις ανωτέρω σχέσεις έχουμε:

$\displaystyle{m=OA+AC_1=X+h \cdot cos(\phi)=x+\frac{24}{\sqrt{x^2+9}}\cdot cos(\phi) \ \ (5) }$

$\displaystyle{n=h \cdot sin(\phi)=\frac{24}{\sqrt{x^2+9}}\cdot sin(\phi) \ \ (6) }$

Οι σχέσεις (5) και (6) λόγω των (2) και (3) τελικά γίνονται:

$\displaystyle{m=x+\frac{72}{x^2+9} \ \ (7) }$

$\displaystyle{n=\frac{24x}{x^2+9} \ \ (8) }$

Η μελέτη της συνάρτησης:

$\displaystyle{f(x)=n=\frac{24x}{x^2+9},\ \ x \geq 0 \ \ (9) }$

είναι εύκολη και δίνει μοναδικό ακρότατο το σημείο:

$\displaystyle{ T=(3,4) }$ δηλαδή $\displaystyle{f_{max}=f(3)=4 \ \ (10) }$

όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα:

: Παραπέρα δεν πάει 3.png (15.48 KiB) Προβλήθηκε 716 φορές

Άρα το μέγιστο ύψος του σημείου $\displaystyle{C}$ είναι $\displaystyle{n=4}$ και η τετμημένη της θέσης αυτής

είναι: $\displaystyle{m=7 }$ .

(Συνεχίζεται...)

Κώστας Δόρτσιος

#4

KARKAR έγραψε: Σάβ Απρ 26, 2025 8:53 am Του ορθογωνίου τριγώνου $ABC , ( \widehat{A}=90^0)$ , η κορυφή είναι σταθερό σημείο του , ενώ η

κινείται στον . Το εμβαδόν του τριγώνου είναι σταθερά . Βρείτε το μέγιστο ύψος του σημείου .

Χρησιμοποιήστε το λογισμικό σας για να απολαύσετε τον γεωμετρικό τόπο του .

(Τελευταία συνέχεια....)

Καλημέρα....

Από τις εξισώσεις (7) και (8) της προηγούμενης ανάρτησης προκύπτουν

οι παραμετρικές εξισώσεις της καμπύλης $\displaystyle{(C)}$ του ζητούμενου γεωμ. τόπου.

Δηλαδή:

$\displaystyle{ (C): \begin{cases} x(t)=t+\frac{72}{t^2+9}\\ \\ y(t)=\frac{24t}{t^2+9} \end{cases} \ \ t \in[0,+\propto) \ \ (11) }$

Σύμφωνα με την (11) έχουμε το ακόλουθο σχήμα:

: Παραπάνω δεν πάει 3.png (24.34 KiB) Προβλήθηκε 677 φορές

Στο σχήμα αυτό έχει τοποθετηθεί και το ακρότατο σημείο, παραπάνω από το οποίο δεν πάει άλλο

η καμπύλη του γεωμετρικού αυτού τόπου.

Παραθέτω και το αντίστοιχο δυναμικό σχήμα για όσους θέλουν να απολαύσουν το γεωμετρικό αυτό τόπο!!

https://www.geogebra.org/m/k3kyka6g

Κώστας Δόρτσιος

Παραπάνω δεν πάει

Παραπάνω δεν πάει

Re: Παραπάνω δεν πάει

Re: Παραπάνω δεν πάει

Re: Παραπάνω δεν πάει

Μέλη σε σύνδεση