Βρίσκεται αυτό ;

KARKAR · #1

: Βρίσκεται αυτό ;.png (4.08 KiB) Προβλήθηκε 298 φορές

Στο ορθογώνιο τραπέζιο ABCD

, είναι :

και :

. Αν :

, υπολογίστε

το μέγιστο εμβαδόν του τραπεζίου . Σίγουρα θα δυσκολευτείτε πολύ να κάνετε το ίδιο για τυχόντα a , b

.

#2

Καλησπέρα σε όλους. Για το 1ο ερώτημα:

: 25-01-2026 Γεωμετρία.jpg (18.97 KiB) Προβλήθηκε 290 φορές

$\displaystyle \eta \mu \varphi = \frac{\upsilon }{b} \Leftrightarrow \upsilon = b\eta \mu \varphi ,\;\;\;\sigma \upsilon \nu \varphi = \frac{x}{b} \Leftrightarrow x = b\sigma \upsilon \nu \varphi$

Για a=7, b=6

είναι $\displaystyle \left( {ABCD} \right) = \frac{{2a + x}}{2} \cdot \upsilon = \frac{{14 + 6\sigma \upsilon \nu \varphi }}{2} \cdot 6\eta \mu \varphi = 42\eta \mu \varphi + 9\eta \mu 2\varphi$

Η συνάρτηση $\displaystyle f\left( \varphi \right) = 42\eta \mu \varphi + 9\eta \mu 2\varphi ,\;\;\varphi \in \left( {0,\pi } \right)$ έχει παράγωγο

$\displaystyle f'\left( \varphi \right) = 42\sigma \upsilon \nu \varphi + 18\sigma \upsilon \nu 2\varphi = 42\sigma \upsilon \nu \varphi + 36\sigma \upsilon {\nu ^2}\varphi - 18\;$

Με μελέτη προσήμου της παραγώγου, βλέπουμε ότι έχει μέγιστο όταν $\displaystyle \sigma \upsilon \nu \varphi = \frac{1}{3}$ .

Τότε $\displaystyle \eta \mu \varphi = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$ και μέγιστο εμβαδόν $\displaystyle {\left( {ABCD} \right)_{\max }} = 32\sqrt 2$

#3

KARKAR έγραψε: Κυρ Ιαν 25, 2026 6:39 pm Σίγουρα θα δυσκολευτείτε πολύ να κάνετε το ίδιο για τυχόντα .

Εκτιμώντας το λεπτό χιούμορ του Θανάση , δίνω μια απάντηση τη γενική περίπτωση. Κάποιες απλοποιήσεις στο τέλος τις παρέλειψα.
Θα χαρώ να δω το θεματοδότη να απλοποιεί το αποτέλεσμα και να κάνει έλεγχο για τυχόν αβλεψίες μου.

: 25-01-2026 Γεωμετρία.jpg (18.97 KiB) Προβλήθηκε 282 φορές

$\displaystyle \eta \mu \varphi = \frac{\upsilon }{b} \Leftrightarrow \upsilon = b\eta \mu \varphi ,\;\;\;\sigma \upsilon \nu \varphi = \frac{x}{b} \Leftrightarrow x = b\sigma \upsilon \nu \varphi$

$\displaystyle \left( {ABCD} \right) = \frac{{2a + x}}{2} \cdot \upsilon = \frac{{2a + b\sigma \upsilon \nu \varphi }}{2} \cdot b\eta \mu \varphi = \frac{{2a\eta \mu \varphi + b\eta \mu \varphi \cdot \sigma \upsilon \nu \varphi }}{2} \cdot b$

$\displaystyle f\left( \varphi \right) = a\eta \mu \varphi + \frac{b}{4}\eta \mu 2\varphi ,\;\;\varphi \in \left( {0,\;\pi } \right)$

$\displaystyle f'\left( \varphi \right) = a\sigma \upsilon \nu \varphi + \frac{b}{2}\sigma \upsilon \nu 2\varphi$

$\displaystyle f'\left( \varphi \right) = 0 \Leftrightarrow b\sigma \upsilon {\nu ^2}\varphi + a\sigma \upsilon \nu \varphi - \frac{b}{2} = 0$

Θέτω $\displaystyle \sigma \upsilon \nu \varphi = t,\;\; - 1 < t < 1$

Η εξίσωση $\displaystyle b{t^2} + at - \frac{b}{2} = 0$ έχει $\displaystyle D = {a^2} + 2{b^2} > 0$ και δύο ρίζες $\displaystyle {\rho _1} = \frac{{ - a - \sqrt {{a^2} + 2{b^2}} }}{{2b}} < {\rho _2} = \frac{{ - a + \sqrt {{a^2} + 2{b^2}} }}{{2b}}$

Είναι $\displaystyle {\rho _2} = \frac{{ - a + \sqrt {{a^2} + 2{b^2}} }}{{2b}} < 1 \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + 2{b^2}} < 2b + a \Leftrightarrow 0 < 2{b^2} + 4ab$

Η συνάρτηση $\displaystyle f'\left( \varphi \right)$ είναι θετική σε διάστημα $\displaystyle \left[ {\kappa ,\;{\rho _2}} \right] \subseteq \left( { - 1,\;1} \right)$ και αρνητική στο $\displaystyle \left[ {{\rho _2},\;1} \right)$ , άρα η συνάρτηση $\displaystyle f\left( \varphi \right)$ έχει μέγιστο στο $\displaystyle {\rho _2}$ .

Για το $\displaystyle \varphi$ που έχουμε μέγιστο, είναι $\displaystyle \sigma \upsilon \nu \varphi = \frac{{ - a + \sqrt {{a^2} + 2{b^2}} }}{{2b}} \Rightarrow \eta \mu \varphi = \frac{{\sqrt {2{b^2} - 2{a^2} + 2a\sqrt {{a^2} + 2{b^2}} } }}{{2b}}$

και $\displaystyle \eta \mu 2\varphi = 2 \cdot \frac{{ - a + \sqrt {{a^2} + 2{b^2}} }}{{2b}} \cdot \frac{{\sqrt {2{b^2} - 2{a^2} + 2a\sqrt {{a^2} + 2{b^2}} } }}{{2b}}$

Η τιμή του μεγίστου είναι $\displaystyle {\left( {ABCD} \right)_{\max }} = ab\frac{{2{b^2} - 2{a^2} + 2a\sqrt {{a^2} + 2{b^2}} }}{{2b}} + \frac{b^2}{4} \cdot 2 \cdot \frac{{ - a + \sqrt {{a^2} + 2{b^2}} }}{{2b}} \cdot \frac{{\sqrt {2{b^2} - 2{a^2} + 2a\sqrt {{a^2} + 2{b^2}} } }}{{2b}}$

edit: Πρόσθεσα μια τετραγωνική ρίζα που μου ξέφυγε (αναρωτιέμαι πώς; ...

) παραπάνω. Ευχαριστώ τον Θανάση που είχε την υπομονή να δει την (ας την πούμε..) λύση μου.

KARKAR · #4

Γράφω μόνο το αποτέλεσμα : Είναι : $E_{max}=\dfrac{1}{8}(3a+\sqrt{a^2+2b^2})\sqrt{2(a\sqrt{a^2+2b^2}+b^2-a^2)}$

#5

KARKAR έγραψε: Κυρ Ιαν 25, 2026 6:39 pm Βρίσκεται αυτό ;.pngΣτο ορθογώνιο τραπέζιο , είναι : και : . Αν : , υπολογίστε

το μέγιστο εμβαδόν του τραπεζίου . Σίγουρα θα δυσκολευτείτε πολύ να κάνετε το ίδιο για τυχόντα .

Για τη γενική μορφή:

$\displaystyle (ABCD) = \frac{1}{2}(a + 2x)h \Leftrightarrow (ABCD) = f(x) = \frac{1}{2}(a + 2x)\sqrt {{b^2} - {x^2}}.$

: Βρίσκεται αυτό;.png (6.76 KiB) Προβλήθηκε 224 φορές

Εύκολα βρίσκω ότι η

μηδενίζεται όταν 2x^2+2ax-b^2=0,

δηλαδή $x = \dfrac{{\sqrt {{a^2} + 2{b^2}} - a}}{2},$

απ' όπου $\displaystyle {x^2} = \frac{{2{a^2} + 2{b^2} - 2a\sqrt {{a^2} + 2{b^2}} }}{4}.$ Αντικαθιστώντας τώρα στον τύπο της

παίρνω

$\boxed{{(ABCD)_{\max }} = \frac{{\sqrt 2 }}{8}\left( {3a + \sqrt {{a^2} + 2{b^2}} } \right)\sqrt {{b^2} - {a^2} + a\sqrt {{a^2} + 2{b^2}} }}$

Βρίσκεται αυτό ;

Βρίσκεται αυτό ;

Re: Βρίσκεται αυτό ;

Re: Βρίσκεται αυτό ;

Re: Βρίσκεται αυτό ;

Re: Βρίσκεται αυτό ;

Μέλη σε σύνδεση