Κάτι μας κρατάει χαμηλά

KARKAR · #1

: Κάτι μας κρατάει χαμηλά.png (15.62 KiB) Προβλήθηκε 170 φορές

Σημείο

κινείται σε ημικύκλιο διαμέτρου AB=d

. Σχεδιάζω την χορδή

, η οποία διέρχεται

από το μέσο

της

. Υπολογίστε το μέγιστο ύψος

του σημείου

. Εφαρμογή : d=9

.

abgd · #2

: xamilo.png (45.93 KiB) Προβλήθηκε 132 φορές

Με τη βοήθεια του σχήματος είναι:

$DK^2=\dfrac{d^2}{16}-x^2$ ,

$DK//BP\Rightarrow \dfrac{BP}{DK}=\dfrac{4}{3}\Rightarrow BP^2=\dfrac{16}{9}DK^2=\dfrac{d^2-16x^2}{9}$

$AP^2=d^2-BP^2=\dfrac{8}{9}(d^2+2x^2)$

$hd=BP\cdot AP \Rightarrow..... h=\dfrac{2d\sqrt{2}}{9}\cdot \sqrt{1-2t(7+16t)}\leq \dfrac{2d\sqrt{2}}{9}$ , όπου $\dfrac{x^2}{d^2}=t$

Άρα το μέγιστο

συμβαίνει όταν x=0

, δηλαδή όταν η

εφάπτεται στο ημικύκλιο

, και είναι ίσο με $\dfrac{2d\sqrt{2}}{9}$ .

#3

KARKAR έγραψε: Πέμ Μαρ 05, 2026 1:56 pm Κάτι μας κρατάει χαμηλά.pngΣημείο κινείται σε ημικύκλιο διαμέτρου . Σχεδιάζω την χορδή , η οποία διέρχεται

από το μέσο της . Υπολογίστε το μέγιστο ύψος του σημείου . Εφαρμογή : .

Έστω

το μέσο του

και

το σημείο τομής των SO, AP.

Προφανώς το

είναι βαρύκεντρο του SAB,

οπότε $OG=\dfrac{d}{6}.$

: Κάτι μας κρατάει χαμηλά.png (20.6 KiB) Προβλήθηκε 103 φορές

Από την ομοιότητα των AON, APT

είναι $\displaystyle \frac{{ON}}{h} = \frac{d}{{2AP}} \Leftrightarrow h = \frac{{2AP \cdot ON}}{d} \leqslant \frac{{2AP \cdot OG}}{d} = \frac{{AP}}{3}$

Άρα τη στιγμή της μεγιστοποίησης το

ταυτίζεται με το

και είναι $BP=2ON=\dfrac{d}{3}$ και AP=3h,

οπότε

με Π.Θ στο SAB

βρίσκω $\boxed{h_{\rm max}=\frac{2\sqrt 2 d}{9}}$ και για την εφαρμογή $\boxed{h_{\rm max}=2\sqrt 2}$

Κάτι μας κρατάει χαμηλά

Κάτι μας κρατάει χαμηλά

Re: Κάτι μας κρατάει χαμηλά

Re: Κάτι μας κρατάει χαμηλά

Μέλη σε σύνδεση