Μέγιστο εφαπτομένης

KARKAR · #1

: Μέγιστο εφαπτομένης.png (13.34 KiB) Προβλήθηκε 213 φορές

Στη διάμετρο AB=5a

ενός ημικυκλίου βρίσκεται το σταθερό σημείο

, ενώ τα

κινούνται στο τόξο , έτσι ώστε : $\widehat{STP}=90^0$ . Υπολογίστε την μέγιστη τιμή της $\tan\theta$ .

S.E.Louridas · #2

Μία λιτή αλλά μάλλον ακριβής άποψη στο όμορφο αυτό θέμα που κατασκεύασε ο Θανάσης. Το σημείο

είναι συμμετρικό του

ως προς το σημείο

#3

KARKAR έγραψε: Δευ Μάιος 11, 2026 11:30 am Μέγιστο εφαπτομένης.pngΣτη διάμετρο ενός ημικυκλίου βρίσκεται το σταθερό σημείο , ενώ τα

κινούνται στο τόξο , έτσι ώστε : $\widehat{STP}=90^0$ . Υπολογίστε την μέγιστη τιμή της $\tan\theta$ .

.

: Μεγ εφ.png (25.84 KiB) Προβλήθηκε 135 φορές

.
Είχα στον νου μου την ακόλουθη κατασκευή αλλά δεν πρόλαβα να την γράψω λόγω της απίστευτης καθυστέρησης που βιώνουμε αυτές τις μέρες στο mathematica, όταν πάμε να φορτώσουμε ποστ.

Γράφω μόνο περίληψη αφού εύκολα μπορεί να καταρτίσει κανείς την απόδειξη αξιοποιώντας όσα γράφει ο Σωτήρης στην λιτή του λύση. Η δική μου αρχική λύση είναι πιο περίπλοκη.

Συμπληρώνουμε το τεταρτοκύκλιο ώστε να γίνει κύκλος. Γράφουμε την ευθεία που ενώνει τον νότιο πόλο

με το

, και έστω ότι τέμνει τον κύκλο στο

. Ισχυρίζομαι ότι το

είναι το ζητούμενο και αυτό γιατί αν το ενώσουμε με τον βόρειο πόλο

τότε επειδή η

είναι διάμετρος, σημαίνει ότι $\widehat{STP}=90^0$ . Δηλαδή ικανοποιεί την συνθήκη της άσκησης.

Αποδεικνύεται τώρα ότι η $\theta = \widehat {TSP}$ είναι η μέγιστη τέτοια γωνία. Ένας απλός τρόπος (με βάση τα συμπεράσματα του Σωτήρη) είναι να δείξει κανείς ότι αν (με τον συμβολισμό) το

είναι το συμμετρικό του

ως προς το κέντρο του κύκλου τότε TS|| PS'

(άμεσο). Δηλαδή το σημείο

ικανοποιεί τις απαιτήσεις της λύσης του Σωτήρη.

Αφήνω τις λεπτομέρειες.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: Δευ Μάιος 11, 2026 11:30 am Μέγιστο εφαπτομένης.pngΣτη διάμετρο ενός ημικυκλίου βρίσκεται το σταθερό σημείο , ενώ τα

κινούνται στο τόξο , έτσι ώστε : $\widehat{STP}=90^0$ . Υπολογίστε την μέγιστη τιμή της $\tan\theta$ .

Ισχύει $ST.SC=4a^2\Rightarrow ST= \dfrac{4a^2}{SC}$ και $tan \theta = \dfrac{PT}{TS} = \dfrac{PT.CS}{4a^2}$

Άρα η $tan \theta$ γίνεται μέγιστη ,όταν γίνει μέγιστο το PT.CS=2(PCS)

Αλλά $2(PCS)=5a.SQ\leq 5a. \dfrac{3a}{2} = \dfrac{15a^2}{2}$ .Επομένως

$tan \theta _{max} = \dfrac{ \dfrac{15a^2}{2} }{4a^2}= \dfrac{15}{8}$

και λαμβάνεται όταν $Q \equiv O$ δηλαδή όταν $POC \bot AB$

: Μέγιστο εφαπτομένης.png (29.34 KiB) Προβλήθηκε 123 φορές

Μέγιστο εφαπτομένης

Μέγιστο εφαπτομένης

Re: Μέγιστο εφαπτομένης

Re: Μέγιστο εφαπτομένης

Re: Μέγιστο εφαπτομένης

Μέλη σε σύνδεση