Ακρότατο με ακεραίους

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6204
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Ακρότατο με ακεραίους

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Τρί Ιαν 23, 2018 12:51 am

Αν \displaystyle{a,b,c} είναι θετικοί ακέραιοι, να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της παράστασης \displaystyle{\Omega=(a+b+c)^3-27abc} όταν

(\displaystyle{\color{red}\spadesuit}) \displaystyle{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2> 0}

και όταν

(\displaystyle{\color{red}\clubsuit}) \displaystyle{a\ne b\ne c\ne a.}


Μάγκος Θάνος

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1599
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Ακρότατο με ακεραίους

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Τρί Ιαν 23, 2018 11:52 am

matha έγραψε:
Τρί Ιαν 23, 2018 12:51 am
Αν \displaystyle{a,b,c} είναι θετικοί ακέραιοι, να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της παράστασης \displaystyle{\Omega=(a+b+c)^3-27abc} όταν

(\displaystyle{\color{red}\spadesuit}) \displaystyle{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2> 0}

και όταν

(\displaystyle{\color{red}\clubsuit}) \displaystyle{a\ne b\ne c\ne a.}
Θα λύσουμε τα ερωτήματα με την αντίστροφη σειρά.

α) Έστω a \neq b \neq c \neq a.

Επειδή η παράσταση \Omega είναι συμμετρική ως προς τα a,b,c, υποθέτουμε ότι c>b>a.
Μπορούμε λοιπόν να θέσουμε b=a+x, c=a+y, με y>x \geqslant 1.

Με αντικατάσταση και πράξεις προκύπτει \boxed{\Omega=9a(x^2-xy+y^2)+(x+y)^3} (1).

Είναι y>x \geqslant 1 \Rightarrow y \geqslant 2 (2) και y-x \geqslant 1 (3).

Άρα, από (2),(3), είναι x^2-xy+y^2=y(y-x)+x^2 \geqslant 2+1=3 \Rightarrow x^2-xy+y^2 \geqslant 3, με την ισότητα για x=1,y=2 (4).

Ακόμη, x+y \geqslant 1+2=3 \Rightarrow x+y \geqslant 3, με την ισότητα για x=1,y=2 (5).

Αφού a \in \mathbb{N^*}, είναι a \geqslant 1 (6).
Συνδυάζοντας τις (1),(4), (5), (6) έχουμε \boxed{\Omega \geqslant 54}, με την ισότητα για a=1,b=a+x=2, c=a+y=3, δηλαδή για \boxed{a=1,b=2,c=3}.

β) Έστω (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2>0, δηλαδή να μην ισχύει a=b=c.

Εδώ διακρίνουμε δύο περιπτώσεις.

Περίπτωση 1: Ανά δύο οι αριθμοί δεν είναι ίσοι, δηλαδή a \neq b \neq c \neq a. Έτσι αναγόμαστε στην περίπτωση α), όπου αποδείχτηκε ότι \boxed{\Omega \geqslant 54}.

Περίπτωση 2: Δύο εκ των αριθμών a,b,c είναι ίσοι, και ο τρίτος διαφορετικός.

Έστω a=b \neq c. Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις:

Υποπερίπτωση 2α) c>a=b. Έστω τότε c=a+x. Με αντικατάσταση των σχέσεων c=a+x, a=b στην \Omega λαμβάνουμε \Omega=x^3+9ax^2.

Αφού προφανώς x \geqslant 1 (είναι x=c-a>0) και a \geqslant 1, έχουμε \boxed{\Omega \geqslant 10}, με την ισότητα για \boxed{a=b=1,c=2}.

Υποπερίπτωση 2β) c<a=b. Έστω τότε c=a-x, με 1 \leqslant x <a (7)

Με αντικατάσταση είναι \Omega=-x^3+9ax^2.

Θεωρούμε την συνάρτηση f(x)=-x^3+9ax^2 με 1 \leqslant x < a .

Είναι f'(x)=-3x^2+18ax=3x(6a-x)>0, αφού 1 \leqslant x<a. Έτσι, f'(x)>0, άρα η f(x) είναι γνησίως αύξουσα.

Επομένως, x \geqslant 1 \Rightarrow f(x) \geqslant f(1) \Rightarrow  f(x) \geqslant 9a-1 (8).

Αφού a>x \Rightarrow a \geqslant x+1 \geqslant 2, οπότε a \geqslant 2 (9).

Οι (8), (9) δίνουν \Omega=-x^3+9ax^2=f(x) \geqslant 17, άρα \Omega \geqslant 17, που όμως είναι μεγαλύτερο της ελάχιστης τιμής 10 που βρήκαμε στην υποπερίπτωση 2α).

Τελικά, ισχύει \boxed{\Omega \geqslant 10}, με την ισότητα για \boxed{a=b=1,c=2}.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης