11η Μαθηματική Ολυμπιάδα BENELUX 2019 Πρόβλημα 1

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Άβαταρ μέλους
polysot
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2566
Εγγραφή: Δευ Οκτ 19, 2009 11:43 pm
Τοποθεσία: Όπου βρω ενδιαφέρουσες προσωπικότητες...
Επικοινωνία:

11η Μαθηματική Ολυμπιάδα BENELUX 2019 Πρόβλημα 1

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από polysot » Τετ Μάιος 01, 2019 1:51 am

Πρόβλημα 1
α) Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί a,b,c,d ώστε 0\leq a,b,c,d \leq 1. Να αποδειχθεί ότι:

ab(a-b) + bc (b-c) + cd (c- d) + da (d-a) \leq \frac{8}{27}.

β) Να βρεθούν όλες οι τετράδες πραγματικών αριθμών (a,b,c,d) , ώστε 0\leq a,b,c,d \leq 1 για τις οποίες ισχύει η ισότητα στην προηγούμενη ανισότητα.


Σωτήρης Δ. Χασάπης

Ζήσε τα μαθηματικά σου!
-----------------------------
"There is a scientific taste just as there is a literary or artistic one", Renan
"The journey of a thousand miles begins with one step.", Lao Tzu

Λέξεις Κλειδιά:
Xriiiiistos
Δημοσιεύσεις: 216
Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Τοποθεσία: Αιγάλεω

Re: 11η Μαθηματική Ολυμπιάδα BENELUX 2019 Πρόβλημα 1

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Xriiiiistos » Τετ Μάιος 01, 2019 8:56 am

polysot έγραψε:
Τετ Μάιος 01, 2019 1:51 am
Πρόβλημα 1
α) Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί a,b,c,d ώστε 0\leq a,b,c,d \leq 1. Να αποδειχθεί ότι:

ab(a-b) + bc (b-c) + cd (c- d) + da (d-a) \leq \frac{8}{27}.

β) Να βρεθούν όλες οι τετράδες πραγματικών αριθμών (a,b,c,d) , ώστε 0\leq a,b,c,d \leq 1 για τις οποίες ισχύει η ισότητα στην προηγούμενη ανισότητα.
Η ανίσωση είναι τέτοια ώστε δίχως βλάβη της γενικότητας μπορούμε να θέσουμε a\geq b,c,d και γράφεται a^{2}(b-d)+b^{2}(c-a)+c^{2}(d-b)+d^{2}(a-c)=...(a-c)(b-d)(a+c-b-d)(i)

Αν (b-d),(a+c-b-d)\geq 0 τότε \sqrt[3]{(i)}\leq\frac{a-c+b-d+a+c-b-d}{3} =\frac{2a-2d}{3}\leq \frac{2}{3}

An (b-d),(a+c-b-d)\leq 0 τότε \sqrt[3]{(i)}=\sqrt[3]{(a-c)(d-b)(b+d-a-c)}\leq \frac{2d-2c}{3}\leq \frac{2}{3} (όπως και πάνω)

Υψώνοντας στον κύβο τις 2 πάνω παίρνουμε το ζητούμενο

An (b-d),(a+c-b-d) έχουν αντίθετους συντελεστές τότε η (i) είναι αρνητικό που ισχύει όμως δεν θα έχουμε ισότητα


dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: 11η Μαθηματική Ολυμπιάδα BENELUX 2019 Πρόβλημα 1

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Τετ Μάιος 01, 2019 7:40 pm

Διαφορετικά:

Υποθέτουμε ότι a \leq c (μπορούμε πάντα να εναλλάξουμε τα a, c και b,d).

Το τριώνυμο ως προς d μεγιστοποιείται για \displaystyle d = \frac{a+c}{2}.

Αν d \geq 1/2 τότε το τριώνυμο ως προς b μεγιστοποιείται για b=0 και έτσι το τριώνυμο ως προς c μεγιστοποιείται για c=1. Τέλος, το τριώνυμο ως προς a μεγιστοποιείται για \displaystyle a = \frac{b+d}{2}. Έτσι οδηγούμαστε στη λύση (1/3,0,1,2/3).

Από την περίπτωση d < 1/2 και τις περιπτώσεις a > c οδηγούμαστε στις κυκλικές εναλλαγές. Όλες έχουν άνω φράγμα 8/27.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Άβαταρ μέλους
polysot
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2566
Εγγραφή: Δευ Οκτ 19, 2009 11:43 pm
Τοποθεσία: Όπου βρω ενδιαφέρουσες προσωπικότητες...
Επικοινωνία:

Re: 11η Μαθηματική Ολυμπιάδα BENELUX 2019 Πρόβλημα 1

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από polysot » Κυρ Μάιος 05, 2019 10:12 pm

Και η αρχική μου λύση, παρόμοια με παραπάνω:

Το αριστερό μέλος της αρχικής γράφεται:

ab(a-b) + bc (b-c) + cd (c- d) + da (d-a) =\\ a^2b - ab^2 + b^2 c - bc^2 + c^2 d - cd^2 +d^2 a -da^2= \\ b^2 (c-a) + c^2 (d-b) +d^2(a-c) +a^2 (b-d)=\\ (c-a)(b^2 - d^2) + (d-b)(c^2 -a^2)=\\ (c-a)(b-d)(b+d-c-a) \leq \text{(από ανισότητα ΑΜ-ΓΜ)}\\ \left(\frac{c-a+b-d+b+d-c-a}{3} \right)^3 =\\ \left(\frac{2b-2a}{3}\right)^3 = \\ (b-a)^3 \frac{8}{27}

Αν b<a \Leftrightarrow b-a<0 άρα η ζητούμενη ισχύει, αφού θα είναι αρνητικός αριθμός.

Αν b>a τότε θα είναι 0<b-a<1, αφού 0<a,b<1 οπότε και πάλι θα ισχύει η ζητούμενη.


Σωτήρης Δ. Χασάπης

Ζήσε τα μαθηματικά σου!
-----------------------------
"There is a scientific taste just as there is a literary or artistic one", Renan
"The journey of a thousand miles begins with one step.", Lao Tzu
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης