Τελευταία ψηφία ριζών εξίσωσης

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

qwerty
Δημοσιεύσεις: 188
Εγγραφή: Δευ Αύγ 17, 2009 11:05 pm

Τελευταία ψηφία ριζών εξίσωσης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από qwerty » Πέμ Ιούλ 09, 2020 11:34 pm

Να βρείτε τα τελευταία τρία ψηφία, του γινομένου, των ριζών της εξίσωσης:

\sqrt[3]{2021} x^{\log_{2021} x} = x^3



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3991
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Τελευταία ψηφία ριζών εξίσωσης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Παρ Ιούλ 10, 2020 12:47 am

Λογαριθμίζουμε με βάση το 2021 και καταλήγουμε άμεσα στην εξίσωση

\left(\log_{2021}x\right)^2=9\log_{2021}x με ρίζες τις x=1, \ x=9^{2021} (Edit: Η εξίσωση δεν είναι σωστή λόγω λάθους στην εφαρμογή ιδιότητας λογαρίθμων. Το αφήνω για τα 3 τελευταία ψηφία του 9^{2021}. Για τη σωστή λύση δείτε την αμέσως επόμενη δημοσίευση.)

Από το θεώρημα του Euler, αφού \varphi(2021)=400 άρα 9^{400}\equiv 1 \pmod{1000} κι έτσι παίρνουμε:

9^{2021}=\left(9^{400}\right)^5\cdot 9^{21}\equiv 9^{21} = \left(9^5\right)^4\cdot 9 \equiv 49^4\cdot 9 \equiv 401^2\cdot 9 \equiv 801\cdot 9 \equiv 209 \pmod{1000}

Άρα τα τρία τελευταία ψηφία του γινομένου 9^{2021} των ριζών της αρχικής εξίσωσης είναι 209.

Αλέξανδρος
τελευταία επεξεργασία από cretanman σε Παρ Ιούλ 10, 2020 8:43 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: Λάθος λύση!


Αλέξανδρος Συγκελάκης
Άβαταρ μέλους
llenny
Δημοσιεύσεις: 13
Εγγραφή: Τρί Απρ 23, 2019 11:10 pm

Re: Τελευταία ψηφία ριζών εξίσωσης

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από llenny » Παρ Ιούλ 10, 2020 2:32 am

Προφανώς οι λύσεις θα είναι θετικές αλλιώς δεν ορίζεται ο λογάριθμος.
Έστω x=2021^{y}, η εξίσωση γίνεται: 2021^{1/3}2021^{y^2}=2021^{3y}
Άρα 2021^{y^2-3y+1/3}=1
y^2-3y+1/3=0
Η εξίσωση αυτή έχει δύο λύσεις a, b με a+b=3
Άρα η αρχική εξίσωση έχει λύσεις 2021^a και 2021^b
Άρα το γινόμενο τους είναι 2021^a * 2021^b=2021^{a+b}=2021^3
το οποίο είναι 21^3 mod (1000) το οποίο είναι 261 mod(1000)
Άρα τα τελευταία τρία ψηφία του γινομένου των ριζών της εξίσωσης είναι 261.
Η λύση δεν είναι δική μου αλλά του φανταστικού Michael Penn.


qwerty
Δημοσιεύσεις: 188
Εγγραφή: Δευ Αύγ 17, 2009 11:05 pm

Re: Τελευταία ψηφία ριζών εξίσωσης

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από qwerty » Παρ Ιούλ 10, 2020 12:32 pm

llenny έγραψε:
Παρ Ιούλ 10, 2020 2:32 am
Η λύση δεν είναι δική μου αλλά του φανταστικού Michael Penn.
Από αυτόν ακριβώς πήρα το πρόβλημα :mrgreen:

https://youtu.be/YAUHoplcKmI

Το κανάλι του είναι φοβερό!


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης