Πολυώνυμο δύο μεταβλητών

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #1

Να βρεθούν όλα τα πολυώνυμα δύο μεταβλητών P(x,y)

τέτοια ώστε να ισχύει η σχέση
P(ab,c^2+1)+P(bc,a^2+1)+P(ca,b^2+1)=0

για κάθε $a,b,c\in \mathbb{R}$ .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#2

Για

παίρνω

.

Για

παίρνω

για κάθε $y \geqslant 1$ . Αφού αυτό ισχύει για άπειρες τιμές του

τότε

για κάποιο πολυώνυμο δύο μεταβλητών Q(x,y)

.

Τότε abQ(ab,c^2+1) + bcQ(bc,a^2+1) + caQ(ca,b^2+1) = 0

για κάθε $a,b,c \in \mathbb{R}$ .

Για a=b

παίρνω

για κάθε

άρα

για κάθε $x \neq 1$ . Όπως πριν παίρνω Q(x,y) = (y-1)R(x,y)

που δίνει

για κάθε $a,b,c \in \mathbb{R}$ . Τότε ισχύει επίσης ότι cR(ab,c^2+1) + aR(bc,a^2+1) + bR(ca,b^2+1) = 0

για κάθε $a,b,c \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ άρα και για κάθε $a,b,c \in \mathbb{R}$ .

Για a=b=0

παίρνω

που όπως πριν μου δίνει R(x,y) = xS(x,y)

. Με παρόμοιο τρόπο όπως προηγουμένως καταλήγω σε S(ab,c^2+1) + S(bc,a^2+1) + S(ca,b^2+1) = 0

για κάθε $a,b,c \in \mathbb{R}$ . Όμως το

έχει μικρότερο βαθμό από το

. Αυτή η διαδικασία δεν μπορεί να συνεχίζεται επ' άπειρον. Άρα πρέπει η

να είναι ταυτοτικά

.

#3

Δίνω κάποιες επιπλέον εξηγήσεις στην πιο πάνω λύση. Ουσιαστικά σε διάφορα σημεία χρησιμοποίησα την εξής πρόταση:

Λήμμα: Έστω πολυώνυμο $f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ και έστω ότι υπάρχουν άπειρα σύνολα $A_1,\ldots,A_n$ ώστε $f(x_1,\ldots,x_n) = 0$ για κάθε $x_1 \in A_1,\ldots,x_n \in A_n$ . Τότε $f(x_1,\ldots,x_n) = 0$ για κάθε $x_1,\ldots,x_n \in \mathbb{R}$ .

Απόδειξη: Με επαγωγή στο

. Η περίπτωση n=1

είναι αρκετά γνωστή. Γράφουμε τώρα
$\displaystyle f(x_1,\ldots,x_n) = g_0(x_1,\ldots,x_{n-1}) + g_1(x_1,\ldots,x_{n-1})x_n + g_2(x_1,\ldots,x_{n-1})x_n^2 + \cdots + g_m(x_1,\ldots,x_{n-1})x_n^m$
για κάποια πολυώνυμα $g_1,\ldots,g_m$ .

Έστω $t_1 \in A_1,\ldots,t_{n-1} \in A_{n-1}$ . Ως πολυώνυμο μίας μεταβλητής το $f(t_1,\ldots,t_{n-1},t_n)$ μηδενίζεται σε άπειρες τιμές του t_n

. Αυτό σημαίνει πως είναι το μηδενικό πολυώνυμο. Άρα $g_0(t_1,\ldots,t_{n-1}),\ldots,g_m(t_1,\ldots,t_{n-1}) = 0$ .

Αυτό ισχύει για κάθε $t_1 \in A_1,\ldots,t_{n-1} \in A_{n-1}$ . Άρα από την επαγωγική υπόθεση τα $g_0,g_1,\ldots,g_m$ είναι μηδενικά πολυώνυμα και άρα το ίδιο ισχύει και για το

.
$\rule{400pt}{0.5pt}$

Αυτό το είχα εφαρμόσει π.χ. στο πολυώνυμο f(a,b,c) = cR(ab,c^2+1)+aR(bc,a^2+1)+bR(ca,b^2+1)

. Γνωρίζοντας ότι ισούται με

για κάθε $a,b,c \neq 0$ παίρνω ότι ισούται με

για κάθε $a,b,c \in \mathbb{R}$ .

Πολυώνυμο δύο μεταβλητών

Πολυώνυμο δύο μεταβλητών

Re: Πολυώνυμο δύο μεταβλητών

Re: Πολυώνυμο δύο μεταβλητών

Μέλη σε σύνδεση