Άλλη μία ανισότητα

Tolaso J Kos · #1

Έστω

θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε x+y+z=xyz

. Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\sum \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \leq \sum \frac{1}{x^2+1} + \sum \frac{1}{\sqrt{\left ( x^2+1 \right )\left ( y^2+1 \right )}} \leq \frac{3}{2}}$

Dimessi · #2

Θέτουμε

x=\tan A, y=\tan B, z= \tan C,

όπου

γωνίες οξυγώνιου τριγώνου και η αριστερή γράφεται

\sum \cos A \cos B+\sum \cos ^2A \geqslant \sum \cos A \left ( \ast \right )

Αλλά

\left ( 1-\cos A \right )\left ( 1-\cos B \right )\left ( 1-\cos C \right )-\cos A \cos B \cos C=1-\sum \cos A+\sum \cos A \cos B-2\cos A \cos B \cos C=\sum \cos ^2A +\sum \cos A \cos B-\sum \cos A

άρα η αριστερή γράφεται

\left ( 1-\cos A \right )\left ( 1-\cos B \right )\left ( 1-\cos C \right )\geqslant \cos A \cos B \cos C \Longleftrightarrow

\Longleftrightarrow 8 \sin ^{2}\dfrac{A}{2} \sin ^{2}\dfrac{B}{2} \sin ^{2}\dfrac{C}{2}\geqslant \cos A \cos B \cos C

που είναι γνωστή για οξυγώνια τρίγωνα.
Τώρα η δεξιά γράφεται

\sum \cos ^{2}A+\sum \cos A \cos B\leqslant \dfrac{3}{2} \Longleftrightarrow \sum \cos ^2A +\left ( \cos A+\cos B+\cos C \right )^{2}\leqslant 3 \Longleftrightarrow

\Longleftrightarrow \dfrac{r^{2}+s^{2}+4Rr+R^{2}}{R^{2}}\leqslant 2+8 \cos A \cos B \cos C=2+\dfrac{\displaystyle \prod \left ( b^{2}+c^{2}-a^{2} \right )}{a^{2}b^{2}c^{2}}\Longleftrightarrow

\Longleftrightarrow \left ( \dfrac{r}{R} \right )^{2}+\left ( \dfrac{s}{R} \right )^{2}+\dfrac{4r}{R}\leqslant 1+\dfrac{\displaystyle \prod \left ( b^{2}+c^{2}-a^{2} \right )}{a^{2}b^{2}c^{2}}

που επίσης ισχύει για οξυγώνια τρίγωνα.

Άλλη μία ανισότητα

Άλλη μία ανισότητα

Re: Άλλη μία ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση