Συντρέχουν στον Euler

min## · #1

Έστω τρίγωνο ABC

και DEF το ορθικό του.
Να δειχτεί ότι οι ευθείες Euler

των

συντρέχουν στον κύκλο των 9 σημείων του ABC

.
Υγ.Θα ακολουθήσει και γενίκευση

#2

min## έγραψε: Τετ Αύγ 14, 2019 12:30 am Έστω τρίγωνο και DEF το ορθικό του.
Να δειχτεί ότι οι ευθείες των συντρέχουν στον κύκλο των 9 σημείων του .
Υγ.Θα ακολουθήσει και γενίκευση

Ιδιαίτερα εύκολη πρόταση και υποψιάζομαι και τη γενίκευση . Θα επανέλθω αν δεν απαντηθεί αργότερα (ίσως από Ελλάδα

)

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #3

min## έγραψε: Τετ Αύγ 14, 2019 12:30 am Έστω τρίγωνο και DEF το ορθικό του.
Να δειχτεί ότι οι ευθείες των συντρέχουν στον κύκλο των 9 σημείων του .
Υγ.Θα ακολουθήσει και γενίκευση

Καλημέρα!

Θεωρούμε O_1,O_2,O_3

τα περίκεντρα και H_1,H_2,H_3

και τα ορθόκεντρα των AEF,BDF,CFD

αντίστοιχα.

Θα δείξουμε ότι τα O_1,O_2,O_3

ανήκουν στον κύκλο $\textrm{Euler}$ του τριγώνου ABC

δηλαδή στον περίκυκλο του DEF(δεν μου το εμφάνιζε σε Latex

).
Είναι $\angle DFE+DO_3E=(180^{\circ}-2\angle C)+2\angle C=180^{\circ}$ ,όμοια και τα υπόλοιπα.

Έστω $L\equiv O_1H_1\cap O_2H_2$ .Θα αποδείξουμε ότι το

ανήκει στον κύκλο $\textrm{Euler}$ του τριγώνου ABC

,αρκεί

εγγράψιμο δηλαδή αρκεί $\angle O_1LO_2=\angle C$

Θεωρούμε $K_1\equiv H_1O_1\cap AB,K_2\equiv FD\cap H_2O_2$ ,επειδή όμως $\overset{\Delta }{AFE}\sim \overset{\Delta }{BDF}$
έχουμε $\angle LK_1A=\angle H_2K_2H=\angle FK_2L\Leftrightarrow FK_1LK_2\,\,\varepsilon \gamma \gamma \rho \acute{\alpha }\psi \iota \mu o \Leftrightarrow \angle O_1LO_2=\angle BFD=\angle C$ έτσι O_1O_2O_3L

εγγράψιμο.

Αν $K_3\equiv BC\cap LO_3$ τότε από το προφανές(από τα παραπάνω) εγγράψιμο K_1LK_3B

είναι $\angle O_3K_3B=\angle LK_1A$ έτσι το H_3

αν'ήκει στην LO_3

δηλαδή

η ευθεία $\textrm{Euler}$ του DEC

.

: Capture.PNG (82.52 KiB) Προβλήθηκε 1452 φορές

min## · #4

Μια χαρά-μια από αυτές που έχω υπόψη μου και γενικεύεται σε οποιαδήποτε ευθεία που περνάει από το περίκεντρο των ομοίων τριγώνων.

#5

min## έγραψε: Τετ Αύγ 14, 2019 12:30 am Έστω τρίγωνο και DEF το ορθικό του.
Να δειχτεί ότι οι ευθείες των συντρέχουν στον κύκλο των 9 σημείων του .
Υγ.Θα ακολουθήσει και γενίκευση

Το $\vartriangle FEA$ προκύπτει από στροφή (γύρο από το

) και ομοιοθεσία (προφανώς όμοια από τα εγγράψιμα τετράπλευρα…) του τριγώνου $\vartriangle FBD$ «αριστερόστροφα» κατά γωνία ${{180}^{0}}-\angle C$ και συνεπώς οι ευθείς Euler (ομόλογες ευθείες) θα σχηματίζουν γωνία ${{180}^{0}}-\angle C$ και νομίζω κάπου εδώ τελειώσαμε…

Υ.Σ. Συγνώμη για το "σύντομο" της απάντησης αλλά ο χρόνος μου είναι περιορισμένος

Συντρέχουν στον Euler

Συντρέχουν στον Euler

Re: Συντρέχουν στον Euler

Re: Συντρέχουν στον Euler

Re: Συντρέχουν στον Euler

Re: Συντρέχουν στον Euler

Μέλη σε σύνδεση