Κάτι ήξεραν οι Ούγγροι...

[Venizelos]

Παραθέτω κάποια ενδιαφέροντα θέματα της Ουγγρικής Μαθηματικής Ολυμπιάδας - απλά και ίσως τετριμμένα, όμως χρειάζεται η σκέψη-κλειδί. Θα μοιραστώ τις χρονιές μετά από κάποιες απόπειρες λύσεων και έπειτα από τη δική μου προσπάθεια.

Ας σημειωθεί ότι τέτοια προβλήματα έχουν να εμφανιστούν περίπου 50 χρόνια σε παγκόσμιους διαγωνισμούς!

Ερώτημα 1

Δίδονται 6 σημεία στο επίπεδο, ανά τρία μη συνευθειακά. Να δειχθεί ότι υπάρχουν 3 από αυτά τα οποία σχηματίζουν γωνία μεγαλύτερη ή ίση των 120°.


Ερώτημα 2

Δίδονται 4 σημεία στο επίπεδο. Να δείξετε πως δύο από τις αποστάσεις που ορίζουν αυτά τα σημεία έχουν λόγο μεγαλύτερο ή ίσο από το .

[Venizelos]

Οι προσπάθεια λύσης του πρώτου προβλήματος:

Ε1: Παίρνουμε την κυρτή θήκη των 6 σημείων. Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις:

1. Αν η κυρτή τους θήκη είναι εξάγωνο, τότε προφανώς το άθροισμα των εσωετρικών του γωνιών είναι . Άρα, τουλάχιστον μία είναι μεγαλύτερη ή ίση των .

2. Αν η κυρτή θήκη δεν είναι εξάγωνο, τότε υπάρχει ένα άλλο από τα σημεία - ας το ονομάσουμε Χ - που δεν είναι κορυφή της κυρτής θήκης. Τριγωνοποιώντας βρίσκουμε ότι υπάρχει τρίγωνο με κορυφές 3 από τα 6 σημεία που διαλέξαμε - ας το πούμε ABC - το οποίο εμπεριέχει το σημείο Χ. Τότε, τουλάχιστον μία από τις γωνίες AXB, AXC, BXC είναι μεγαλύτερη ή ίση των .

Να σημειωθεί ότι ανάλογη λύση υπάρχει στο βιβλίο ΔΙαγωνισμοί στα Μαθηματικά - Τόμος 1ος των αξιοθαύμαστων μαθηματικών: Α. Μάγκος, Ε. Μουρούκος, Χ. Στεργίου, Α. Συγκελάκης, Δ. Χριστοφορίδης.

Για το ερώτημα 2 θα επανέλθω αύριο!

[ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ]

Παραθέτω κάποια ενδιαφέροντα θέματα της Ουγγρικής Μαθηματικής Ολυμπιάδας - απλά και ίσως τετριμμένα, όμως χρειάζεται η σκέψη-κλειδί. Θα μοιραστώ τις χρονιές μετά από κάποιες απόπειρες λύσεων και έπειτα από τη δική μου προσπάθεια.

Ας σημειωθεί ότι τέτοια προβλήματα έχουν να εμφανιστούν περίπου 50 χρόνια σε παγκόσμιους διαγωνισμούς!

Ερώτημα 1

Δίδονται 6 σημεία στο επίπεδο, ανά τρία μη συνευθειακά. Να δειχθεί ότι υπάρχουν 3 από αυτά τα οποία σχηματίζουν γωνία μεγαλύτερη ή ίση των 120°.


Ερώτημα 2

Δίδονται 4 σημεία στο επίπεδο. Να δείξετε πως δύο από τις αποστάσεις που ορίζουν αυτά τα σημεία έχουν λόγο μεγαλύτερο ή ίσο από το .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Αν τρίγωνο μη οξυγώνιο με μεγαλύτερη πλευρά την τότε η