Ανήκει στον κύκλο Euler!

Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 803
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Ανήκει στον κύκλο Euler!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Τρί Ιαν 09, 2018 11:22 pm

Έστω οξυγώνιο τρίγωνο ABC με ορθόκεντρο H και μέσο M της πλευράς BC. Έστω c_1 ο περιγεγραμμένος κύκλος του. Φέρνουμε από το M την κάθετη στην HM η οποία τέμνει τον c_1 στα D, E. Έστω N το μέσο του DE. Να αποδειχθεί πως το N ανήκει στον κύκλο Euler του ABC.
Ανήκει στον κύκλο Euler.png
Ανήκει στον κύκλο Euler.png (15.79 KiB) Προβλήθηκε 626 φορές


Houston, we have a problem!

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9184
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ανήκει στον κύκλο Euler!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Ιαν 10, 2018 11:58 am

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:
Τρί Ιαν 09, 2018 11:22 pm
Έστω οξυγώνιο τρίγωνο ABC με ορθόκεντρο H και μέσο M της πλευράς BC. Έστω c_1 ο περιγεγραμμένος κύκλος του. Φέρνουμε από το M την κάθετη στην HM η οποία τέμνει τον c_1 στα D, E. Έστω N το μέσο του DE. Να αποδειχθεί πως το N ανήκει στον κύκλο Euler του ABC.

Ανήκει στον κύκλο Euler.png
Euler.D..png
Euler.D..png (18.3 KiB) Προβλήθηκε 585 φορές
Έστω P το μέσο του AH, AF το ύψος και O το περίκεντρο του ABC. Ως γνωστόν το POMH είναι παραλληλόγραμμο,

άρα \displaystyle PO \bot DE, οπότε θα περνάει από το μέσο N του DE. Το PNMF είναι λοιπόν εγγράψιμο και αφού τα P, F, M

ανήκουν στον κύκλο του Euler το ίδιο θα συμβαίνει και με το N.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7129
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ανήκει στον κύκλο Euler!

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Ιαν 10, 2018 1:42 pm

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:
Τρί Ιαν 09, 2018 11:22 pm
Έστω οξυγώνιο τρίγωνο ABC με ορθόκεντρο H και μέσο M της πλευράς BC. Έστω c_1 ο περιγεγραμμένος κύκλος του. Φέρνουμε από το M την κάθετη στην HM η οποία τέμνει τον c_1 στα D, E. Έστω N το μέσο του DE. Να αποδειχθεί πως το N ανήκει στον κύκλο Euler του ABC.

Ανήκει στον κύκλο Euler.png
Ανήκει στον κύκλο του Euler.png
Ανήκει στον κύκλο του Euler.png (27.88 KiB) Προβλήθηκε 556 φορές
Δείτε κι αυτό

Αν O το περίκεντρο του \vartriangle ABC , το κέντρο K του κύκλου του Euler είναι το μέσο του HO και η ακτίνα του \boxed{r = KM}.

Από το δισορθογώνιο τραπέζιο ONMH η διάμεσός του KT είναι κάθετη στη MN και άρα KM = KN = r.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης