Ημικυκλική πρόοδος

KARKAR · #1

: Ημικυκλική πρόοδος.png (7.6 KiB) Προβλήθηκε 682 φορές

Πάνω σε τμήμα AB=a

θεωρώ σημείο

πλησιέστερο προς το

και γράφω στο ίδιο ημιεπίπεδο

ημικύκλια διαμέτρων AS , SB

. Η ευθεία η οποία διέρχεται από τα μέσα M,N

των ημικυκλίων ,

επανατέμνει τα δύο τόξα στα σημεία P,Q

. Βρείτε τη θέση του

για την οποία τα τρία τμήματα

QN , NP , PM

είναι - μ' αυτή τη σειρά - διαδοχικοί αριθμητικής προόδου .

Προαιρετικά : Εξετάστε και την περίπτωση της γεωμετρικής προόδου .

#2

KARKAR έγραψε: Τετ Αύγ 21, 2019 7:51 am Ημικυκλική πρόοδος.pngΠάνω σε τμήμα θεωρώ σημείο πλησιέστερο προς το και γράφω στο ίδιο ημιεπίπεδο

ημικύκλια διαμέτρων . Η ευθεία η οποία διέρχεται από τα μέσα των ημικυκλίων ,

επανατέμνει τα δύο τόξα στα σημεία . Βρείτε τη θέση του για την οποία τα τρία τμήματα

είναι - μ' αυτή τη σειρά - διαδοχικοί αριθμητικής προόδου .

Προαιρετικά : Εξετάστε και την περίπτωση της γεωμετρικής προόδου .

'Έστω

οι ακτίνες του μεγάλου και του μικρού ημικυκλίου αντίστοιχα και QN=x-t, NP=x, PM=x+t.

: Ημικυκλική πρόοδος.png (16.13 KiB) Προβλήθηκε 663 φορές

$\displaystyle NP \cdot NM = N{O^2} - {R^2} \Leftrightarrow x\sqrt {2{R^2} + 2{r^2}} = 2{r^2} + 2Rr \Leftrightarrow$ $\boxed{x = \frac{{2{r^2} + 2Rr}}{{\sqrt {2{R^2} + 2{r^2}} }}}$

$\displaystyle MN \cdot MQ = M{K^2} - {r^2} \Leftrightarrow 3x\sqrt {2{R^2} + 2{r^2}} = 2{R^2} + 2Rr \Leftrightarrow$ $\boxed{x = \frac{{2{R^2} + 2Rr}}{{3\sqrt {2{R^2} + 2{r^2}} }}}$

Από τις παραπάνω σχέσεις με απαλοιφή του

προκύπτει ότι R=3r

δηλαδή $\boxed{AS=\dfrac{3a}{4}}$

Παρατήρηση: Το είναι μέσο του

Ημικυκλική πρόοδος

Ημικυκλική πρόοδος

Re: Ημικυκλική πρόοδος

Μέλη σε σύνδεση