Πείραμα σε κύκλους

KARKAR · #1

: Πείραμα σε κύκλους.png (12.96 KiB) Προβλήθηκε 828 φορές

Για τους άνισους κύκλους (O,R)

και

, ισχύει : d=OK>R+r

.

Σημείο

κινείται επί του (K)

. Φέρουμε το "πάνω" εφαπτόμενο τμήμα

.

α) Καθώς το

περιστρέφεται ποιες είναι οι οριακές θέσεις του

; ( Ας τις ονομάσουμε T' , T''

) .

β) Αν οι αντίστοιχες θέσεις του

είναι οι

, υπολογίστε το άθροισμα των γωνιών $\widehat{T'OT''}, \widehat{S'KS''}$ .

γ) Υπολογίστε το ελάχιστο του τμήματος

.

#2

Kαλησπέρα σε όλους. Θα πάω απ' ευθείας στο "ζουμερό" ερώτημα (γ).

: 25-11-2020 Γεωμετρία.png (18 KiB) Προβλήθηκε 780 φορές

Έστω $\displaystyle \widehat {TSO} = \varphi$ .

Στο ορθογώνιο τρίγωνο TOS

είναι $\displaystyle \sigma \varphi \varphi = \frac{{{\rm T}S}}{R} \Leftrightarrow TS = R\sigma \varphi \varphi$ .

Επίσης είναι $\displaystyle \eta \mu \varphi = \frac{R}{{OS}}$ . Έστω $\displaystyle S',\;S''$ το εσωτερικό και εξωτερικό αντίστοιχα σημείο τομής της ευθείας που ορίζουν τα O, K

με τον

.

Οπότε $\displaystyle OS' \le OS \le OS''$ για κάθε σημείο

στον

.

Έτσι, $\displaystyle \frac{R}{{OS'}} \ge \frac{R}{{OS}} \ge \frac{R}{{OS''}} \Leftrightarrow \eta \mu \varphi ' \ge \eta \mu \varphi \ge \eta \mu \varphi ''$

Άρα η γωνία $\phi$ παίρνει μέγιστη κι ελάχιστη τιμή στα $\displaystyle S',\;S''$ αντίστοιχα, αφού το ημίτονο αυξάνει στο διάστημα $\displaystyle \left[ {0,\;\frac{\pi }{2}} \right]$ .

Οπότε στα σημεία αυτά η $\displaystyle \sigma \varphi \varphi$ άρα και το

παίρνουν αντίστοιχα το ελάχιστο και το μέγιστό τους.

Τότε $\displaystyle T{S_{\min }} = \sqrt {O{{S'}^2} - {R^2}} = \sqrt {{{\left( {d - r} \right)}^2} - {R^2}}$

Για το μέγιστο, βάζουμε στον παραπάνω τύπο: d+r

.

#3

KARKAR έγραψε: Τετ Νοέμ 25, 2020 2:37 pm Πείραμα σε κύκλους.pngΓια τους άνισους κύκλους και , ισχύει : .

Σημείο κινείται επί του . Φέρουμε το "πάνω" εφαπτόμενο τμήμα .

α) Καθώς το περιστρέφεται ποιες είναι οι οριακές θέσεις του ; ( Ας τις ονομάσουμε ) .

β) Αν οι αντίστοιχες θέσεις του είναι οι , υπολογίστε το άθροισμα των γωνιών $\widehat{T'OT''}, \widehat{S'KS''}$ .

γ) Υπολογίστε το ελάχιστο του τμήματος .

Καλησπέρα!

Για το (γ) ερώτημα: Έστω

το σημείο τομής της διακέντρου με τον κύκλο (K)

και

το εφαπτόμενο τμήμα στον κύκλο (O).

: ΠΣΚ.png (17.69 KiB) Προβλήθηκε 726 φορές

$\displaystyle OS \ge OA \Leftrightarrow O{S^2} - {R^2} \ge O{A^2} - {R^2} \Leftrightarrow ST \ge AB.$ Άρα, $\boxed{S{T_{\min }} = AB = \sqrt {{{(d - r)}^2} - {R^2}} }$

με το ελάχιστο να επιτυγχάνεται όταν το

ταυτιστεί με το

Πείραμα σε κύκλους

Πείραμα σε κύκλους

Re: Πείραμα σε κύκλους

Re: Πείραμα σε κύκλους

Μέλη σε σύνδεση