Feuerbach και σύγκλιση

[ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ]

Σημείο Feuerbach και σύγκλιση.png (47.83 KiB) Προβλήθηκε 860 φορές

Έστω τα σημεία επαφής του έγκυκλου τριγώνου με τις πλευρές του αντίστοιχα και ας είναι τα μέσα των πλευρών αυτών
Να δειχθεί ότι οι ευθείες διέρχονται από το ίδιο σημείο , όπου είναι σημείο Feuerbach (το σημείο επαφής του έγκυκλου με τον κύκλο Euler του

[Σπύρος Καλλίας]

'Εστω Η το ορθόκεντρο του τριγώνου BIC.Όλοι οι πόλοι-πολικές είναι ως προς τον εγγεγραμμένο κύκλο του ABC.

Από το Θεώρημα 1 στο https://www.awesomemath.org/wp-pdf-file ... le_bic.pdf
η πολική του Η είναι η MK.
Έστω Χ το σημείο τομής της κοινής εφαπτομένης εγγεγραμμένου και κύκλου Euler με τη BC. Τότε η πολική του Χ είναι η DFe.
Επίσης η πολική του Α είναι η ΕΖ.
Από το Θεώρημα La Hire το ζητούμενο είναι ισοδύναμο με τη συνευθειακότητα των Χ,Α,Η.

Έστω Y το σημείο τομής της ΑΗ με τη ΒC και L η προβολή του Α στη BC. Αρκεί να δείξω ότι το Y ανήκει στον ριζικό άξονα εγγεγραμμένου-κύκλου Euler, δηλ. ότι .

Λήμμα: Η AD είναι παράλληλη στην ΤΗ.(άσκηση 1b στον παραπάνω σύνδεσμο)
Απόδειξη:
Θεωρώ τα παράκεντρα του τριγώνου ABC.
Το είναι παραλληλόγραμμο, άρα το Η είναι το συμμετρικό του ως προς το Τ.
Στο τρίγωνο οι είναι αντιπαράλληλες, άρα η είναι συμμετροδιάμεσος.
Στο τρίγωνο DEZ η DA είναι συμμετροδιάμεσος.
Τα τρίγωνα και DEZ είναι ομοιόθετα και έτσι το λήμμα αποδείχθηκε.

Από το Λήμμα έχουμε:
Επίσης, οι AL, DH είναι παράλληλες, άρα .

Οι δύο τελευταίες ισότητες δίνουν και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.