Ισοτομικό ίχνους ύψους

[ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ]

Ισοτομικό ίχνους ύψους.png (35.55 KiB) Προβλήθηκε 865 φορές

Έστω το μέσο της πλευράς τριγώνου και το ύψος του. Αν είναι τα σημεία τομής των καθέτων από το στις ευθείες με τις αντίστοιχα να δειχθεί ότι ο περίκυκλος του τριγώνου διέρχεται και από το ισοτομικό του

[Μιχάλης Τσουρακάκης]

Ισοτομικό ίχνους ύψους.png
Έστω το μέσο της πλευράς τριγώνου και το ύψος του. Αν είναι τα σημεία τομής των καθέτων από το στις ευθείες με τις αντίστοιχα να δειχθεί ότι ο περίκυκλος του τριγώνου διέρχεται και από το ισοτομικό του

είναι ορθόκεντρο του τριγώνου και ορθόκεντρο του τριγώνου

Έτσι, κι επιπλέον ισχύει οπότε εγγράψιμμο

Άρα και το ζητούμενο αποδείχτηκε

Ισοτομικό ίχνους ύψους.png (295.17 KiB) Προβλήθηκε 800 φορές

[giannimani]

concycl.png (54.97 KiB) Προβλήθηκε 738 φορές

Συμβολίζουμε με τον περιγεγραμμένο κύκλο του .
Έστω το σημείο τομής των εφαπτομένων του κύκλου στα σημεία του και .
Η είναι η συμμετροδιάμεσος του , και λόγω της υπόθεσης το είναι
το ορθόκεντρο του . Τα τετράπλευρα και είναι εγγράψιμα (,
και όμοια για το ). Επομένως, και .
Προεκτείνουμε τη διάμεσο κατά τμήμα . Εφόσον, το παραλληλόγραμμο,
αν , οι προβολές των , στη αντίστοιχα, τότε , δηλαδή, .
Τα σημεία , είναι ισογώνια συζυγή ως προς τις πλευρές του τριγώνου (*), επομένως
έχουν κοινό ποδικό κύκλο τον (**). Ως εκ τούτου, το .

(*) Προκύπτει, άμεσα από απλή μεταφορά γωνιών.
(**) Βλέπε, για παράδειγμα, Nathan Altshiller-Court: College Geometry, σελ. 271.