Από το 2016 στο 2017!

JimNt. · #1

Να βρείτε τον ελάχιστο θετικό ακέραιο

ώστε $70^{2017}|142^n-2^n$ . Για μαθητές μέχρι τις 17/1

.

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #2

Θα χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα LTE

(

)

Ισχύει ότι 7^1||142-2

. Έστω

. Τότε ισχύει ότι $7^{k+1}||142^n-2^n$ . Αφού όμως $7^{2017}|142^n-2^n$ , ισχύει ότι $7^{k+1}\geq 7^{2017}\Leftrightarrow k\geq 2016$ (1).

Ακόμη ισχύει ότι 5^1||142-2

. Έστω

. Τότε ισχύει ότι $5^{l+1}||142^n-2^n$ . Αφού όμως $5^{2017}|142^n-2^n$ , ισχύει ότι $5^{l+1}\geq 5^{2017}\Leftrightarrow l\geq 2016$ (2).

Από τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει ότι $n\geq 7^{2016}\cdot 5^{2016}=35^{2016}$

Τέλος ισχύει ότι $2^{2017}|142^{35^{2016}}-2^{35^{2016}}$

Αφού ψάχνουμε για τον ελάχιστο

, θα πρέπει να ισχύει ότι $n=7^{2016}\cdot 5^{2016}=35^{2016}$

EDIT: Ευχαριστώ τον Δημήτρη για τις επισημάνσεις του!

JimNt. · #3

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:Θα χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα ( )

Ισχύει ότι . Έστω . Τότε ισχύει ότι $7^{k+1}||142^n-2^n$ . Αφού όμως $7^{2017}|142^n-2^n$ , ισχύει ότι $7^{k+1}\geq 7^{2017}\Leftrightarrow k\geq 2016$ .

Ακόμη ισχύει ότι . Έστω . Τότε ισχύει ότι $5^{l+1}||142^n-2^n$ . Αφού όμως $5^{2017}|142^n-2^n$ , ισχύει ότι $5^{l+1}\geq 5^{2017}\Leftrightarrow l\geq 2016$ .

Tέλος ισχύει ότι $2^5||\dfrac{142^2-2^2}{2}$ . Έστω . Τότε ισχύει ότι $2^{m+5}||142^n-2^n$ . Αφού όμως $2^{2017}|142^n-2^n$ , ισχύει ότι $2^{m+5}\geq 2^{2017}\Leftrightarrow m\geq 2012$

Αφού ψάχνουμε για τον ελάχιστο , θα πρέπει να ισχύει ότι $n=7^{2016}\cdot 5^{2016}\cdot 2^{2012}$