Οι ρητοί είναι ακέραιοι

dement · #1

Έστω θετικοί $x, y \in \mathbb{Q}$ τέτοιοι ώστε $x \neq y$ και ο x^n - y^n

είναι ακέραιος για άπειρο πλήθος τιμών του $n \in \mathbb{N}$ . Αποδείξτε ότι οι x, y

είναι ακέραιοι.

ksofsa · #2

Εστω $x=\frac{a}{b},y=\frac{c}{d}, a,b,c,d\epsilon Z, (a,b)=1,(c,d)=1$ .

Τότε $\frac{a^n}{b^n}-\frac{c^n}{d^n} \epsilon Z$ .

1) b>d

.Τότε

$d^n(\frac{a^n}{b^n}-\frac{c^n}{d^n})\epsilon Z\Rightarrow (\frac{d^na^n}{b^n}-c^n)\epsilon Z\Rightarrow b^n/a^nd^n\Rightarrow b^n/d^n$

άτοπο, διότι b>d

.

2)

.Τότε

$b^n(\frac{a^n}{b^n}-\frac{c^n}{d^n})\epsilon Z\Rightarrow d^n/b^n$ , άτοπο.

Αρα, b=d

.

Aρα, $x^n-y^n=\frac{a^n-c^n}{b^n}$ .

Εστω

ένας πρώτος διαιρέτης του

.

Τότε, p^n/a^n-c^n

, για άπειρα

.

Εστω $n_{1},n_{2},n_{3},...$ η άπειρη ακολουθία των

.

Επιλέγω $k\epsilon N,m\epsilon N, n_{m}>2n_{k},p^{n_{k}}>x^{n_{1}}-y^{n_{1}}$

Mε βάση το lifting the exponent lemma είναι

$\upsilon _{p}(x^{n_{1}n_{2}...n_{m}}-y^{n_{1}n_{2}...n_{m}})=\upsilon _{p}(x^{n_{1}n_{2}...n_{m-1}}-y^{n_{1}n_{2}...n_{m-1}})+\upsilon _{p}(n_{m})=...=\upsilon _{p}(x^{n_{1}}-y^{n_{1}})+\upsilon _{p}(n_{2})+\upsilon _{p}(n_{3})+...\upsilon _{p}(n_{m})$

και $\upsilon _{p}(x^{n_{1}n_{2}._{}..n_{m}}-y^{n_{1}n_{2}...n_{m}})=\upsilon _{p}(n_{1})+...+\upsilon _{p}(n_{m-1})+\upsilon _{p}(x^{n_{m}}-y^{n_{m}})$ .

Αρα, $\upsilon _{p}(x^{n_{1}}-y^{n_{1}})+\upsilon _{p}(n_{m})=\upsilon _{p}(x^{n_{m}}-y^{n_{m}})+\upsilon _{p}(n_{1})$ .

Ομως, $\upsilon _{p}(x^{n_{m}}-y^{n_{m}})+\upsilon _{p}(n_{1})\geq n_{m}+\upsilon _{p}(n_{1})\geq n_{m}$ .

και $\upsilon _{p}(x^{n_{1}}-y^{n_{1}})+\upsilon _{p}(n_{m})\leq n_{k}+\upsilon _{p}(n_{m})\leq \frac{n_{m}}{2}+\upsilon _{p}(n_{m})$ .

Αρα, $n_{m}\leq \upsilon _{p}(n_{m})+\frac{n_{m}}{2}\Rightarrow n_{m}\leq 2\upsilon _{p}(n_{m})$ , άτοπο.

Αρα το

δεν έχει πρώτο διαιρετη p και ισουται με τη μονάδα.Aρα

$x=a\epsilon Z,y=c\epsilon Z,$ ό.έ.δ.

Οι ρητοί είναι ακέραιοι

Οι ρητοί είναι ακέραιοι

Re: Οι ρητοί είναι ακέραιοι

Μέλη σε σύνδεση