Ελάχιστη τιμή!

#1

Αν $\displaystyle{a,b,c>0}$ με $\displaystyle{abc=2+a+b+c}$ να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της παράστασης

$\displaystyle{\mathcal{F}=\frac{1}{a^2+2}+\frac{1}{b^2+2}+\frac{1}{c^2+2}.}$

JimNt. · #2

matha έγραψε:Αν $\displaystyle{a,b,c>0}$ με $\displaystyle{abc=2+a+b+c}$ να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της παράστασης

$\displaystyle{\mathcal{F}=\frac{1}{a^2+2}+\frac{1}{b^2+2}+\frac{1}{c^2+2}.}$

Αντικαθιστώντας όπου $a=\dfrac{x+y}{z}$ , $b=\dfrac{y+z}{x}$ , $c=\dfrac{z+x}{y}$ , η αρχική γίνεται $\sum{\dfrac{z^2}{(x+y)^2+2z^2}} \ge \sum{\dfrac{z^2}{2x^2+2y^2+2z^2}}=\dfrac{1}{2}$ , με ισότητα ανν x=y=z

$\Leftrightarrow$ a=b=c=2

. (Χρησιμοποιήθηκε η $(a+b)^2 \le 2(a^2+b^2)$ )

Ορέστης Λιγνός · #3

matha έγραψε:Αν $\displaystyle{a,b,c>0}$ με $\displaystyle{abc=2+a+b+c}$ να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της παράστασης

$\displaystyle{\mathcal{F}=\frac{1}{a^2+2}+\frac{1}{b^2+2}+\frac{1}{c^2+2}.}$

Αρκετά εύκολη ...

Από την συνθήκη, υπάρχουν $k,\ell,m>0$ , ώστε $a=\dfrac{k+\ell}{m}, b=\dfrac{\ell+m}{k}. c=\dfrac{k+m}{\ell}$ .

Έτσι, $\displaystyle F=\sum \dfrac{1}{a^2+2}=\sum \dfrac{m^2}{(k+\ell)^2+2m^2} \mathop \geqslant \limits^{Cauchy \, Schwarz}$

$\displaystyle \sum \dfrac{m^2}{2k^2+2\ell^2+2m^2}=\dfrac{1}{2}$ .

Το ίσον για a=b=c=2

.

Με πρόλαβε με διαφορά ο JimNt.

Ορέστης Λιγνός · #4

Γράφω και μία άλλη λύση:

Για a=b=c=2

, η υπόθεση ισχύει και $F = \dfrac{1}{2}$ .

Θα δείξουμε ότι $F \geqslant \dfrac{1}{2}$ , η ισοδύναμα,

$\displaystyle \sum \dfrac{1}{a^2+2}-\dfrac{1}{2} \geqslant 0$ .

Εύκολα διαπιστώνουμε ότι $\displaystyle \sum \dfrac{1}{a^2+2}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{4(a^2+b^2+c^2)+16 - a^2b^2c^2}{(a^2+2)(b^2+20)(c^2+2)}$ ,

οπότε αρκεί $4(a^2+b^2+c^2) +16 \geqslant a^2b^2c^2=(x+2)^2$ , με x=a+b+c

.

Προφανώς, $4(a^2+b^2+c^2) \geqslant \dfrac{4x^2}{3}$ , οπότε αρκεί

$\dfrac{4x^2}{3}+16 \geqslant (x+2)^2 \Rightarrow (x-6)^2 \geqslant 0$ , που ισχύει.

Ελάχιστη τιμή!

Ελάχιστη τιμή!

Re: Ελάχιστη τιμή!

Re: Ελάχιστη τιμή!

Re: Ελάχιστη τιμή!

Μέλη σε σύνδεση