Συναρτησιακή εξίσωση

#1

Να δείξετε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση $f:\mathbb{R}^+\rightarrow\mathbb{R}^+$ τέτοια ώστε $\displaystyle f(f(x)+y)=f(x)+3x+yf(y)$ για κάθε $x,y\in\mathbb{R}^+$ .

#2

Επαναφορά!

min## · #3

Αν υπήρχε

θα βάζαμε στην αρχική $(x,y)\to(k,k-f(k))$ και θα καταλήγαμε σε 0=3k+(k-f(k))f(k-f(k)) > 0

,δηλαδή άτοπο.Άρα $f(x)\geq x$ .Με βάση αυτό, $RHS=LHS\geq f(x)+y$ ,δηλαδή $f(x)\geq 1$ για όλα τα δοσμένα

.

Με $(x,y)\to(x,f(y))$ και αφαιρώντας την κυκλική αυτής που προκύπτει,επειδή το ένα μέλος είναι συμμετρικό,θα ισχύει f(x)(f(f(x))-1)-3x=f(y)(f(f(y))-1)-3y=t

.Άρα και $t\geq x(x-1)-3x$ ,αφού $f(f(x))\geq f(x)\geq x,1$ ,
το οποίο για μεγάλα

είναι άτοπο(0 βαθμός vs 2 βαθμός)κλπ..

Συναρτησιακή εξίσωση

Συναρτησιακή εξίσωση

Re: Συναρτησιακή εξίσωση

Re: Συναρτησιακή εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση