1 εξίσωση, 3 συναρτήσεις

ksofsa · #1

Αποδείξτε ότι οι συναρτήσεις $f,g,h:R\rightarrow R$ ικανοποιούν την εξίσωση

$\dfrac{f(x)-g(y)}{x-y}=h(\dfrac{x+y}{2}),$ με $y\neq x$ ,

αν και μόνο αν υπάρχουν a,b,c

, ώστε

.

#2

Για $x \neq y$ έχουμε

$\displaystyle \frac{f(x)-g(y)}{x-y} = h\left( \frac{x+y}{2}\right) = h\left( \frac{y+x}{2}\right) = \frac{f(y) - g(x)}{y-x}$

το οποίο δίνει f(x) - g(x) + f(y) - g(y) = 0

. Αν λοιπόν θέσουμε t(x) = f(x) - g(x)

τότε έχουμε t(x) + t(y) = 0

για κάθε $x \neq y$ . Πρέπει η

να είναι σταθερή αφού για $x \neq y$ , αν πάρουμε $z \neq x,y$ θα έχουμε t(x) + t(z) = 0 = t(y) + t(z)

που δίνει

. Αφού

σταθερή καταλήγουμε εύκολα στο t(x) = 0

για κάθε

και άρα

για κάθε

.

Τώρα έχουμε

f(x) - f(-x) = 2xh(0)

Προσθέτοντας παίρνουμε

$\displaystyle h\left(\frac{1}{2}-x \right) = 2xh(0) + (1-2x)h\left( \frac{1}{2}\right)$

Για $t \in \mathbb{R}$ , θέτοντας $x = \frac{1}{2}-t$ στην πιο πάνω παίρνουμε

$\displaystyle h(t) = (1-2t)h(0) + 2th\left( \frac{1}{2}\right)$

Δηλαδή η

είναι γραμμική συνάρτηση. Έστω h(x) = 2ax + b

για κάποια σταθερά $a,b \in \mathbb{R}$ . Τότε

$\displaystyle f(x) - f(y) = a(x^2-y^2) + b(x-y)$

ή ισοδύναμα

$\displaystyle f(x) - ax^2 - bx = f(y) - ay^2-by$

για κάθε $x \neq y$ . Όπως και πιο πάνω παίρνουμε ότι η συνάρτηση

είναι σταθερή. Υπάρχει δηλαδή σταθερό

τέτοιο ώστε f(x) = ax^2 + bx+c

.

1 εξίσωση, 3 συναρτήσεις

1 εξίσωση, 3 συναρτήσεις

Re: 1 εξίσωση, 3 συναρτήσεις

Μέλη σε σύνδεση