Προσδιορισμός σημείου (4).

Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros

Άβαταρ μέλους
vittasko
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2068
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.

Προσδιορισμός σημείου (4).

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vittasko » Σάβ Οκτ 08, 2016 12:04 am

Δίνεται τρίγωνο \vartriangle ABC και έστω D , τυχόν σημείο (*) επί της πλευράς του BC . Προσδιορίστε το σημείο έστω P\in AD ώστε η διχοτόμος της γωνίας \angle BPC να είναι παράλληλη προς την διχοτόμο της γνωνίας \angle A .

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Αν και είναι θέμα διερεύνησης, ας είναι το σημείο D , διάφορο του ίχνους της διχοτόμου της γωνίας \angle A .
Συνημμένα
f=185_t=55883.PNG
Προσδιορισμός σημείου (4).
f=185_t=55883.PNG (24.16 KiB) Προβλήθηκε 582 φορές



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4002
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Προσδιορισμός σημείου (4).

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Κυρ Οκτ 09, 2016 12:56 am

vittasko έγραψε:Δίνεται τρίγωνο \vartriangle ABC και έστω D , τυχόν σημείο (*) επί της πλευράς του BC . Προσδιορίστε το σημείο έστω P\in AD ώστε η διχοτόμος της γωνίας \angle BPC να είναι παράλληλη προς την διχοτόμο της γνωνίας \angle A .
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Αν και είναι θέμα διερεύνησης, ας είναι το σημείο D , διάφορο του ίχνους της διχοτόμου της γωνίας \angle A .
Έστω E το αρμονικό συζηγές του D ως προς τα B,C και Q\equiv AE\cap \left( O \right),Q\ne A . Ο περίκυκλος του τριγώνου \vartriangle BEQ τέμνει την AB στο σημείο Z και F\equiv EZ\cap AC .
Είναι \angle FCB \equiv \angle ACB\mathop  = \limits^{A,Q,B,C\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha } \angle EQB \mathop  = \limits^{E,Q,Z,B\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha } \angle EZB \Rightarrow BCFZ εγγράψιμο σε κύκλο (έστω \left( L \right) .

Προφανώς η AE είναι η πολική του σημείου τομής των BF,CZ και λόγω της αρμονικής δέσμης A.EBDC προκύπτει ότι AD\cap BF\cap CZ\equiv P

και ας είναι T το σημείο τομής της CPZ με την BN, με N στην προέκταση της ημιευθείας CA ώστε AN=AB .
[attachment=0]Προσδιορισμός σημείου (4).png[/attachment]
Τότε ισχύει \angle BTC\mathop  = \limits^{\varepsilon \xi \omega \tau \varepsilon \rho \iota \kappa \eta \,\,\tau o\upsilon \,\,\vartriangle TNC} \angle BNC + \angle NCT \mathop  = \limits^{\angle BNC = \angle ABN\left( {AN = AB} \right),\angle NCT \equiv ACZ = \angle ZBF\left( {B,C,F,Z\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha } \right)}

\angle ABN + \angle ZBF = \angle PBT \Rightarrow \vartriangle PTB ισοσκελές με «κορυφή» το P.

Προφανώς \vartriangle {P}'BC ισοσκελές με «κορυφή» το {P}' ({P}' το μέσο του τόξου BC του κύκλου \left( K \right) ) και με \angle TPB\mathop  = \limits^{B,P,C,P'\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha } \angle BP'C\mathop  \Rightarrow \limits^{\vartriangle PTB,\vartriangle P'BC\,\,\iota \sigma o\sigma \kappa \varepsilon \lambda \eta }

\vartriangle PTB \sim \vartriangle P'BC \Rightarrow \angle BTP = \angle P'BC\mathop  = \limits^{P,B,P',C\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha } \angle P'BC \mathop  \Rightarrow \limits^{\varepsilon \nu \tau o\varsigma \,\varepsilon \kappa \tau o\varsigma \,\kappa \alpha \iota \,\,\varepsilon \pi \iota \,\,\tau \alpha \,\,\alpha \upsilon \tau \alpha ...} \boxed{\,PP'\parallel BT \equiv BN}:\left( 1 \right).

Με A{A}' διχοτόμο της εξωτερικής γωνίας της «κορυφής» του ισοσκελούς τριγώνου \vartriangle ABN \Rightarrow \boxed{AA'\parallel BN}:\left( 2 \right).

Από \left( 1 \right),\left( 2 \right)\Rightarrow P{P}'\parallel A{A}' και ο προσδιορισμός του P έχει πραγματοποιηθεί με τις προϋποθέσεις του προβλήματος


Με όλη μου την εκτίμηση
Στάθης
Συνημμένα
Προσδιορισμός σημείου (4).png
Προσδιορισμός σημείου (4).png (77.63 KiB) Προβλήθηκε 561 φορές


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
vittasko
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2068
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.

Re: Προσδιορισμός σημείου (4).

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vittasko » Κυρ Οκτ 09, 2016 10:12 am

Στάθη, καλημέρα και σ' ευχαριστώ για μία ακόμα όμορφη λύση. :coolspeak:

Όπως έχω πει με άλλη ευκαιρία, ένα αξιοσημείωτο χαρακτηριστικό του :logo: , είναι "η σκέψη του άλλου", η οποία σου προσφέρεται απλόχερα και δεν ισοφαρίζεται με τίποτα από την βιβλιογραφία.

Το πρόβλημα αυτό έρχεται από το παρελθόν ( από την εποχή προ υπολογιστή για μένα ) και η λύση που έχω υπόψη μου βασίζεται σε απλούστερα μέσα, αλλά η δική σου μου αρέσει περισσότερο.

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Ας είναι το πρόβλημα αυτό και η λύση του Στάθη, μία μικρή αφιέρωση, σε ένδειξη σεβασμού στην μνήμη Θωμά Ραϊκόφτσαλη, που έφυγε πρόσφατα από κοντά μας.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης