Θέμα απο Βalkan ΜΟ Shortlist

Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros

Datis-Kalali
Δημοσιεύσεις: 117
Εγγραφή: Δευ Δεκ 12, 2016 5:33 pm
Τοποθεσία: Λευκωσία

Θέμα απο Βalkan ΜΟ Shortlist

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Datis-Kalali » Τρί Αύγ 21, 2018 7:05 pm

Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ABC με ορθόκεντρο H, βαρύκενρο G και περιεγγεγραμένο κύκλο w. Έστω ότι D και M είναι τα σημεία τομής των ευθιών AH και AG με την πλευρά BC αντοίστοιχα. Οι ημιευθείες \vec{MH} και \vec{DG} τέμνουν τον κύκλο w στα σημεία P και Q αντοίστοιχα. Να αποδείξετε ότι οι ευθίες PD και QM τένονται πάνω στον κύκλο w.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 803
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Θέμα απο Βalkan ΜΟ Shortlist

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Τρί Αύγ 21, 2018 8:07 pm

bmoshortlistgeo.png
bmoshortlistgeo.png (43.73 KiB) Προβλήθηκε 630 φορές
Είναι γνωστό πως AQ//BC (κοιτάξτε το πρόβλημα γεωμετρίας του φετινού προκριματικού Link).

Επομένως αν η QM τέμνει τον w στο R θα ισχύει ότι αφού M μέσο του BC, BR=LC, όπου L το σημείο τομής της AM με τον w.

Οπότε \widehat{BAQ}=\widehat{CAL}, δηλαδή αν T το σημείο τομής της PD με τον κύκλο, αρκεί \widehat{BAT}=\widehat{CAL}.

Θα αποδείξουμε τώρα πως το PAMD είναι εγγράψιμο.

Αν S η τομή της PM με τον κύκλο, τότε έχουμε πως HM=MS και πως το S είναι το αντιδιαμετρικό του A στον w (αφού HM=MS, άρα το BHCS είναι παραλληλόγραμμο, δηλαδή SC\perp CA, αφού BH\perp CA).

Ισχύει ότι HA\cdot HJ=HP\cdot HS, όπου J το σημείο τομής του AD με τον w.

Λόγω όμως του ότι HJ=2HD και HS=2HM, ισχύει ότι HA\cdot 2HD=HP\cdot 2HM\Leftrightarrow HA\cdot HD=HP\cdot HM.

Επομένως το PAMD είναι εγγράψιμο.

Άρα \widehat{DAM}=\widehat{DPM}.

Είναι \widehat{DPM}=\widehat{TPS}=\widehat{TAS}.

Επομένως \widehat{DAM}=\widehat{TAS}, δηλαδή \widehat{DAT}=\widehat{LAS}.

Όμως \widehat{BAD}=\widehat{CAS} (κατά τα γνωστά ισογώνιες), οπότε

\widehat{BAD}+\widehat{DAT}=\widehat{CAS}+\widehat{LAS}\Leftrightarrow \widehat{BAT}=\widehat{CAL} και το ζητούμενο έπεται!

Edit: Μερικές διορθώσεις και προστέθηκε το σχήμα!
τελευταία επεξεργασία από Διονύσιος Αδαμόπουλος σε Τρί Αύγ 21, 2018 8:25 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Houston, we have a problem!
Άβαταρ μέλους
min##
Δημοσιεύσεις: 309
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: Θέμα απο Βalkan ΜΟ Shortlist

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Τρί Αύγ 21, 2018 8:17 pm

Το APDM είναι φανερά εγγράψιμο ενώ από το λήμμα του Προκριματικού 2018 είναι AQ,BC παράλληλες.Άρα επειδή αρκεί PXQA εγγράψιμο,με X την τομή των τμημάτων,δηλαδή PAQ,PXQ παραπληρωματικές το ζητούμενο είναι άμεσο(PAM=MDX,QAM=QMS=DMS,το πρώτο από το εγγράψιμο και το δεύτερο από την παραλληλία.
Με πρόλαβες :winner_second_h4h:
Για την εγγραψιμότητα πιο απλά είναι APM=90=ADM κλπ.


Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 803
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Θέμα απο Βalkan ΜΟ Shortlist

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Τρί Αύγ 21, 2018 8:38 pm

min## έγραψε:
Τρί Αύγ 21, 2018 8:17 pm

Για την εγγραψιμότητα πιο απλά είναι \widehat{APM}=90^o=\widehat{ADM} κλπ.
Να πω την αλήθεια έτσι το έλυσα στο χαρτί, όμως το γεγονός ότι \widehat{APM}=90^o αν και για πολλούς προφανές λήμμα , χρειαζόταν πιο μεγάλη απόδειξη (αν θέλουμε να γράψουμε επίσημη λύση και να μην το θεωρήσουμε προφανές λήμμα απευθείας), για αυτό ακολούθησα την τετριμμένη οδό. Μια απόδειξη της καθετότητας χωρίς να χρησιμοποιήσουμε την εγγραψιμότητα είναι να δείξουμε πως το P ανήκει στον περιγεγραμμένο κύκλο του AEHF (E, F τα ίχνη των υψών από B, C) με αρνητική αντιστροφή με πόλο το H και δύναμη HA\cdot HD κλπ κλπ (βαριέμαι να την γράψω ολόκληρη... :whistling: )


Houston, we have a problem!
Άβαταρ μέλους
min##
Δημοσιεύσεις: 309
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: Θέμα απο Βalkan ΜΟ Shortlist

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Τρί Αύγ 21, 2018 9:21 pm

Συμφωνώ απόλυτα(καλά, η αντιστροφή το σκοτώνει.).Απλά να πούμε ότι η καθετότητα βγαίνει από την παραλληλία BH,CS στο σχήμα σου ή πχ. λόγω BJ=BH=SC
.κλπ.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9208
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Θέμα απο Βalkan ΜΟ Shortlist

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Αύγ 22, 2018 9:18 am

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:
Τρί Αύγ 21, 2018 8:38 pm

Να πω την αλήθεια έτσι το έλυσα στο χαρτί, όμως το γεγονός ότι \widehat{APM}=90^o αν και για πολλούς προφανές λήμμα , χρειαζόταν πιο μεγάλη απόδειξη (αν θέλουμε να γράψουμε επίσημη λύση και να μην το θεωρήσουμε προφανές λήμμα απευθείας)...
Lemma-BMO.png
Lemma-BMO.png (13.18 KiB) Προβλήθηκε 548 φορές
Τα συμμετρικά του ορθοκέντρου ως προς τις πλευρές (και ως προς τα μέσα των πλευρών) ενός τριγώνου, είναι σημεία

του περιγεγραμμένου κύκλου. Άρα DM||EF, η AF είναι διάμετρος και το ζητούμενο έπεται.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης