ΧΡΗΣΙΜΟ ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ- SL2005-G6

Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros

Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5450
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

ΧΡΗΣΙΜΟ ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ- SL2005-G6

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Σάβ Απρ 06, 2019 7:02 pm

Το θέμα G6 του 2005 δίνει αφορμή για ωραία συμπεράσματα και περιέχει εξαιρετικά λήμματα.

Η σχετική συζήτηση έχει γίνει σε πολλά σημεία, κυρίως όμως στο :



https://artofproblemsolving.com/communi ... 872p463068

Από εκεί δανείζομαι ένα σχήμα και βάζω ως ερώτημα κάποια συμπεράσματα που είναι χρήσιμα Λήμματα.



Στο σχήμα έχουμε τον εγγεγραμμένο κύκλο ενός τριγώνου ABC , τη διάμεσο ΑΜ και τις παράλληλες από τα K,L προς την BC

που ορίζουν με τον κύκλο τα σημεία X,Y.Το ζητούμενο είναι να αποδειχθεί ότι  BP=CQ.

α) Αν η EF τέμνει την παράλληλη από το A προς την BC στο R, τότε η τετράδα (F,E/Z,R) είναι αρμονική, όπως και η τετράδα (A,Z/K,L).

β) Οι ευθείες  ID,FE,AM συντρέχουν.

γ) H ευθεία YX περνάει από το Z.

Η σειρά κάποιων ερωτημάτων μπορεί να αλλάξει, αλλά η ουσία παραμένει.

δ) Να αποδειχθεί με οποιονδήποτε τρόπο το ζητούμενο του αρχικού θέματος G6 της SL.

*** Στο 4ο μήνυμα και στην απόδειξη του λήμματος από τον Nicula υπάρχει ένα εξαίρετο Λήμμα, γνωστό ως ''Θεώρημα Τέμνουσας '', το οποίο δίνει σύντομες λύσεις σε πολλά θέματα με σεβιανές και άλλες τέμνουσες τριγώνου.
Συνημμένα
download.gif
download.gif (5.51 KiB) Προβλήθηκε 580 φορές



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4030
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: ΧΡΗΣΙΜΟ ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ- SL2005-G6

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Σάβ Απρ 06, 2019 7:49 pm

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:
Σάβ Απρ 06, 2019 7:02 pm
Το θέμα G6 του 2005 δίνει αφορμή για ωραία συμπεράσματα και περιέχει εξαιρετικά λήμματα.

Η σχετική συζήτηση έχει γίνει σε πολλά σημεία, κυρίως όμως στο :



https://artofproblemsolving.com/communi ... 872p463068

Από εκεί δανείζομαι ένα σχήμα και βάζω ως ερώτημα κάποια συμπεράσματα που είναι χρήσιμα Λήμματα.



Στο σχήμα έχουμε τον εγγεγραμμένο κύκλο ενός τριγώνου ABC , τη διάμεσο ΑΜ και τις παράλληλες από τα K,L προς την BC

που ορίζουν με τον κύκλο τα σημεία X,Y.Το ζητούμενο είναι να αποδειχθεί ότι  BP=CQ.

α) Αν η EF τέμνει την παράλληλη από το A προς την BC στο R, τότε η τετράδα (F,E/Z,R) είναι αρμονική, όπως και η τετράδα (A,Z/K,L).

β) Οι ευθείες  ID,FE,AM συντρέχουν.

γ) H ευθεία YX περνάει από το Z.

Η σειρά κάποιων ερωτημάτων μπορεί να αλλάξει, αλλά η ουσία παραμένει.

δ) Να αποδειχθεί με οποιονδήποτε τρόπο το ζητούμενο του αρχικού θέματος G6 της SL.

*** Στο 4ο μήνυμα και στην απόδειξη του λήμματος από τον Nicula υπάρχει ένα εξαίρετο Λήμμα, γνωστό ως ''Θεώρημα Τέμνουσας '', το οποίο δίνει σύντομες λύσεις σε πολλά θέματα με σεβιανές και άλλες τέμνουσες τριγώνου.
Μπάμπη,

Πράγματι το θέμα έχει ιδιαίτερο ενδιαφέρον και συζητήθηκε πρόσφατα και εδώ


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1290
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Re: ΧΡΗΣΙΜΟ ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ- SL2005-G6

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από silouan » Κυρ Απρ 07, 2019 12:10 am

Μία άλλη λύση βρίσκεται και στο Μαθηματικοί Διαγωνισμοί ΙΙ.


Σιλουανός Μπραζιτίκος
Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5450
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: ΧΡΗΣΙΜΟ ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ- SL2005-G6

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Κυρ Απρ 07, 2019 7:39 pm

Γεια σας !

Μεγάλη τηλεπάθεια αυτές τις μέρες !

Και να σκεφτείτε ότι την άσκηση την ξαναείδα προχθές στο ιταλικό forum για ολυμπιάδες.Με παραξένεψε όμως μια αρμονικότητα που την θεώρησαν αυτονόητη : την (A,Z/K,M) = -1 , όπου Z το σημείο τομής της AMμε την ΧΥ.

Προφανώς θεώρησαν γνωστό το λήμμα, κάτι που εγώ είχα ξεχάσει.

Να είστε όλοι καλά !

ΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧ


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης