Ριζικό κέντρο μικτοεγγεγραμμένων κύκλων

[Al.Koutsouridis]

Να αποδείξετε ότι το ριζικό κέντρο των μικτοεγγεγραμμένων κύκλων τριγώνου (κύκλων που εφάπτονται δυο πλευρών και του περιγεγραμμένου κύκλου τριγώνου) βρίσκεται στην ευθεία , που ενώνει το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου με το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου αυτού.

Screenshot 2024-06-23 at 13.23.16.png (74.37 KiB) Προβλήθηκε 1931 φορές

[Dimessi]

Να αποδείξετε ότι το ριζικό κέντρο των μικτοεγγεγραμμένων κύκλων τριγώνου (κύκλων που εφάπτονται δυο πλευρών και του περιγεγραμμένου κύκλου τριγώνου) βρίσκεται στην ευθεία , που ενώνει το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου με το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου αυτού.


Screenshot 2024-06-23 at 13.23.16.png

Ομορφούλα συντρέχεια με ριζικό κέντρο μικτοεγγεγραμμένων!.png (363.42 KiB) Προβλήθηκε 226 φορές

Έστω τα σημεία επαφής του A- Mixtillinear incricle του με τις πλευρές και τον κύκλο αντίστοιχα και τα σημεία επαφής του B-Mixtillinear incricle του με τις πλευρές και τον κύκλο αντίστοιχα κι ας είναι
όπου το σημείο επαφής του C-Mixtillinear incircle του με τον κύκλο κι έστω τα σημεία επαφής του C-Mixtillinear incircle του με τις πλευρές αντίστοιχα. Ο ριζικός άξονας των κύκλων είναι η κοινή εφαπτομένη τους στο σημείο δηλαδή η ευθεία και ο ριζικός άξονας των κύκλων είναι η κοινή εφαπτομένη τους στο σημείο άρα η ευθεία και άρα ο ριζικός άξονας των κύκλων διέρχεται από το σημείο που ταυτίζεται με το ριζικό κέντρο των κύκλων και από Λήμμα Αρχιμήδη οι ευθείες διέρχονται από το σημείο και η ευθεία διέρχεται από το σημείο κι επειδή
άρα είναι ο ριζικός άξονας των A-B Mixtillinear incircles του και ομοίως η ευθεία είναι ο ριζικός άξονας των A-C Mixtillinear incircles του και συνεπώς το σημείο είναι το ριζικό κέντρο των A-B-C Mixtillinear incircles του Θεωρούμε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων με άξονα την ευθεία και αρχή το μέσο της πλευράς του όπου το μέσο του τμήματος κι αφού η ευθεία είναι η μεσοκάθετη του τμήματος άρα η εξίσωση της ευθείας όπου το μέσο του τμήματος κι αφού η ευθεία είναι η μεσοκάθετη του τμήματος άρα η εξίσωση της ευθείας


συνευθειακά σημεία όπου είναι η ευθεία εκ του σημείου κάθετη στην άρα και συνεπώς τα σημεία είναι συνευθειακά , δηλαδή τα σημεία
είναι συνευθειακά, άρα από αντίστροφο Θεωρήματος Desargues τα τρίγωνα
είναι προοπτικά, άρα από Θεώρημα Desargues οι ευθείες άρα το ριζικό κέντρο των A-B-C Mixtillinear incircles του ανήκει στην ευθεία που ολοκληρώνει την απόδειξη.

Ομορφούλα συντρέχεια με ριζικό κέντρο μικτοεγγεγραμμένων!.png (363.42 KiB) Προβλήθηκε 226 φορές

[Dimessi]

Να αποδείξετε ότι το ριζικό κέντρο των μικτοεγγεγραμμένων κύκλων τριγώνου (κύκλων που εφάπτονται δυο πλευρών και του περιγεγραμμένου κύκλου τριγώνου) βρίσκεται στην ευθεία , που ενώνει το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου με το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου αυτού.


Screenshot 2024-06-23 at 13.23.16.png

Ο ριζικός άξονας των κύκλων είναι η διάμεσος του τραπεζίου άρα διέρχεται από το μέσο του τμήματος και ο ριζικός άξονας των κύκλων είναι η διάμεσος του τραπεζίου άρα διέρχεται από το μέσο του τμήματος συνεπώς το όπου ο ριζικός άξονας των A-B Mixtillinear incircles του
κι αφού Άρα οι ριζικοί άξονες των ζευγών των A-B-C Mixtillinear incircles του είναι οι ευθείες και συνεπώς το ριζικό κέντρο των A-B-C Mixtillinear incircles του κι επειδή τα τρίγωνα είναι ομοιόθετα με κέντρο ομοιοθεσίας το σημείο και άρα η ευθεία που ενώνει τα περίκεντρά τους διέρχεται από το άρα τα σημεία είναι συνευθειακά, που ολοκληρώνει την απόδειξη .

Πρόβλημα Αλέξανδρου Κουτσουρίδη!.png (306.05 KiB) Προβλήθηκε 143 φορές