Άθροισμα αντιστρόφων πρώτων

#1

Με αφορμή αυτό: http://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=63&t=59042

Έστω $\mathcal{P}$ το σύνολο των πρώτων που είναι μικρότεροι από $2^{100}$ .

Να αποδείξετε ότι $\displaystyle\sum_{p\in\mathcal{P}}\frac{1}{p}<10$ .

Μπορεί το φράγμα να βελτιωθεί και άλλο;

#2

Επαναφορά!

harrisp · #3

Επαναφορά!

Το μόνο που έχω βρει (και δεν ξέρω αν είναι σωστό και οδηγεί στην λύση) είναι ότι: $\displaystyle\sum_{p\in\mathcal{P}}\frac{1}{p}=\displaystyle \sum_{k=1}^{2^{100}} \dfrac {\pi(k)-\pi(k-1)}{k}$ .

Θα προσπαθήσω να ακολουθήσω τα βήματα της λύσης του κ. Δημήτρη (http://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=63&t=59042) αλλά θα καταλήξω λογικά σε ακριβές αποτέλεσμα, πράγμα που δεν ζητάει η άσκηση. Γι΄αυτό πιστεύω πως είμαι στον λάθος δρόμο

.

#4

Ισχύει ότι $\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} \frac{1}{p} \sim \log{\log{n}} + M}$ όπου

είναι η σταθερά του Mertens. Δείτε εδώ: en.wikipedia.org/wiki/Meissel–Mertens_constant.

Οπότε «ισχύει» επίσης ότι το ζητούμενο άθροισμα είναι μικρότερο και του

. Θα δω όμως αν μπορεί να υπάρξει κάποια όσο το δυνατόν πιο στοιχειώδης απόδειξη με το

.

[Έβαλα το «ισχύει» σε εισαγωγικά, διότι το αποτέλεσμα είναι ασυμπτωτικό. Θα εκλπησσόμουν όμως αν δεν ίσχυε δίοτι το $2^{100}$ είναι αρκετά μεγάλο.]

Άθροισμα αντιστρόφων πρώτων

Άθροισμα αντιστρόφων πρώτων

Re: Άθροισμα αντιστρόφων πρώτων

Re: Άθροισμα αντιστρόφων πρώτων

Re: Άθροισμα αντιστρόφων πρώτων

Μέλη σε σύνδεση