Με 3 αγνώστους

Xriiiiistos · #1

Αν

είναι θετικοί ακέραιοι και

πρώτος να λυθεί η εξίσωση

$a^{2p}=a^{2}+b^{2}+p+1$

Ορέστης Λιγνός · #2

Xriiiiistos έγραψε: Κυρ Ιαν 06, 2019 11:18 pm Αν είναι θετικοί ακέραιοι και πρώτος να λυθεί η εξίσωση

$a^{2p}=a^{2}+b^{2}+p+1$

Καλησπέρα.

Θα αποδείξω πρώτα το εξής γνωστό Λήμμα :

Λήμμα

Έστω x,y,p

θετικοί ακέραιοι με $p \equiv 3 \pmod 4$ πρώτο και $p \mid x^2+y^2$ . Τότε, $p \mid x$ και $p \mid y$ .

Απόδειξη

Έστω p=4m+3

.

Προφανώς, αν $p \mid x$ , τότε $p \mid y$ και τούμπαλιν.

Έστω λοιπόν ότι κανένας εκ των x,y

δεν διαιρείται από το

.

Από το μικρό Θεώρημα Fermat, $1 \equiv x^{p-1} \equiv x^{4m+2} \equiv (x^2)^{2m+1} \equiv (-y^2)^{2m+1} \equiv$
$-y^{4m+2} \equiv -y^{p-1} \equiv -1 \pmod p \Rightarrow p \mid 2 \Rightarrow p=2$ , άτοπο.

Επομένως, πρέπει αναγκαστικά, $p \mid x$ και $p \mid y$ και η απόδειξη του Λήμματος ολοκληρώθηκε.

Πάμε στην άσκηση τώρα.

Αν p=2

, τότε $a^4=a^2+b^2+3 \Rightarrow (2a^2-2b-1)(2a^2+2b-1)=13$ , άρα 2a^2-2b-1=1, 2a^2+2b-1=13

οπότε προκύπτει (a,b)=(2,3)

.

Οπότε, έχουμε την λύση (a,b,p)=(2,3,2)

.

Έστω τώρα $p \neq 2$ .
Από το Μικρό Θεώρημα του Fermat, είναι $(a^2)^p -a^2 \equiv a^2-a^2 \equiv 0 \pmod p$ , οπότε η δεδομένη εξίσωση $\pmod p$ δίνει $p \mid b^2+1$ .

Αν $p \equiv 3 \pmod 4$ , τότε από το Λήμμα, $p \mid b , p \mid 1 \Rightarrow p=1$ άτοπο.

Άρα, $p \equiv 1 \pmod 4$ και παίρνοντας $\pmod 4$ την δοσμένη προκύπτει $N=a^{2p}-a^2 \equiv b^2+2 \pmod 4$ .

Είναι $a^2 \equiv 0,1 \pmod 4$ . Αν $a^2 \equiv 0 \pmod 4$ , τότε $N \equiv 0 \pmod 4 \Rightarrow b^2 \equiv 2 \pmod 4$ , άτοπο.

Αν πάλι $a^2 \equiv 1 \pmod 4$ , όμοια $b^2 \equiv 2 \pmod 4$ , άτοπο.

Τελικά, μοναδική λύση η (a,b,p)=(2,3,2)

.

JimNt. · #3

Δεν χρειάζεται καν το δεδομένο ότι

πρώτος.

#4

JimNt. έγραψε: Δευ Ιαν 07, 2019 11:18 am Δεν χρειάζεται καν το δεδομένο ότι πρώτος.

Σωστά!

Για p=0,1

δεν υπάρχουν λύσεις. Ούτε επίσης για a=1

. Πρέπει $b \leqslant a^p - 1$ αφού αν $b \geqslant a^p$ τότε $a^2 + b^2 + p + 1 > a^{2p}$ . Αφού $b \leqslant a^p -1$ , τότε

$\displaystyle a^{2p} \leqslant a^2 + a^{2p} - 2a^p + 1 + p + 1$

που δίνει $2a^p \leqslant a^2 + p + 2$ . Για p = 2

παίρνουμε $2a^2 \leqslant 4$ και αφού $a \neq 1$ τότε a=2

. Αυτό με την σειρά του δίνει b=3

και την λύση (a,b,p) = (2,3,2)

.

Για $p \geqslant 3$ (και $a \geqslant 2$ ) έχουμε

$\displaystyle 2a^p \geqslant a^2 + a^p \geqslant a^2 + 2^p \geqslant a^2 + p + 3$

αφού είναι απλό επαγωγικά ότι $2^p \geqslant p+3$ για $p \geqslant 3$ . Αυτό όμως είναι άτοπο αφού έχουμε επίσης ότι $2a^p \leqslant a^2 + p + 2$ .

Άρα μοναδική λύση η (a,b,p) = (2,3,2)

.

Με 3 αγνώστους

Με 3 αγνώστους

Re: Με 3 αγνώστους

Re: Με 3 αγνώστους

Re: Με 3 αγνώστους

Μέλη σε σύνδεση