Από το διαδίκτυο...

M.S.Vovos · #1

Την άσκηση την βρήκα στο διαδίκτυο. Αυτό που μου κάνει εντύπωση είναι το δεύτερο ερώτημα. Η λύση που βρήκα μπλέκει με επίπονες περιπτώσεις που θεωρώ πως δεν προσφέρουν τίποτα στον μαθητή. Υπάρχει κάποιος άλλος τρόπος που δεν βλέπω που να παρακάμπτει την περιπτωσιολογία;

Έστω ο πραγματικός αριθμός $\lambda$ και η εξίσωση:
$\displaystyle{x^{2}+2\left | \lambda \right |x+\frac{\left | \lambda +3 \right |}{4}=0, \hspace{3mm}\left ( \bigstar \right )}$
(α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $\left ( \bigstar \right )$ έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες $x_{1},x_{2}$ για κάθε:

$\displaystyle{\lambda \in \left ( -\infty ,-\frac{3}{4} \right )\cup \left ( 1,+\infty \right )}$
(β) Να εξετάσετε αν για κάθε $\displaystyle{\lambda \in \left ( -\infty ,-\frac{3}{4} \right )\cup \left ( 1,+\infty \right )}$ ισχύει:

$\displaystyle{\mathrm{d}\left ( x_{1},1 \right )\mathrm{d}\left ( 1,x_{2} \right )>\frac{49}{16}}$

όπου $x_{1},x_{2}$ οι ρίζες της εξίσωσης $\left ( \bigstar \right )$ .

Φιλικά,
Μάριος

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

Καλησπέρα!

α)

Έστω $\Delta$ η διακρίνουσα της $x^2+2x\left | \lambda \right |+\dfrac{\left | \lambda +3 \right |}{4}=0$

Αρκεί $\Delta >0\Leftrightarrow 4\left | \lambda \right |^2-\left | \lambda +3 \right |>0\Leftrightarrow \left | \lambda +3 \right |< 4\lambda ^2\Leftrightarrow -4\lambda ^2< \lambda +3< 4\lambda ^2$

$\lambda +3< 4\lambda ^2\Leftrightarrow 4\lambda ^2-\lambda -3>0$
Έστω $\Delta '$ η διακρίνουσα του τριωνύμου $4\lambda ^2-\lambda -3$ .

Είναι $\Delta '=1+4\cdot 3\cdot 4=49> 0$ ,έστω $\lambda_{1,2}$ οι ρίζες του τριωνύμου με

$\lambda_1<\lambda_2$
$\lambda_{1,2}=\dfrac{1\pm \sqrt{49}}{8}$ άρα αρκεί $\lambda \in \left ( -\infty,\lambda _1 \right )\cup \left ( \lambda _2,+\infty \right )\Leftrightarrow \lambda \in \left ( -\infty,\dfrac{-3}{4} \right )\cup \left ( 1,+\infty \right )$
που ισχύει.

$\lambda +3> -4\lambda ^2\Leftrightarrow 4\lambda ^2+\lambda +3>0$ που ισχύει για κάθε $\lambda \in \mathbb{R}$

β)

$d(x_1,1)d(x_2,1)>\dfrac{49}{16}\Leftrightarrow \left | x_1x_2-(x_1+x_2)+1 \right |\Leftrightarrow \left | 2\left | \lambda \right | +\dfrac{\left | \lambda +3 \right |}{4}+1\right | >\dfrac{49}{16}\Leftrightarrow 2\left | \lambda \right |+...\dfrac{\left | \lambda +3 \right |}{4}+1> \dfrac{49}{16}\Leftrightarrow 32\left | \lambda \right |+4\left | \lambda +3 \right |> 33$

Και παίρνουμε περιπτώσεις

$\lambda \in \left ( -\infty,-3 \right )$ η σχέση γίνεται $4\left ( 3-\lambda \right )-32\lambda >33\Leftrightarrow -36\lambda >21\Leftrightarrow \lambda <-\dfrac{21}{36}=-\dfrac{7}{12}$
που ισχύει.

$\lambda \in [-3,-\dfrac{3}{4})$ η σχέση γίνεται
$4\left ( \lambda +3 \right )-32\lambda >33\Leftrightarrow -28\lambda >21\Leftrightarrow \lambda < \dfrac{-3}{4}$
που ισχύει .

$\lambda \in \left ( 1,+\infty \right )$ η σχέση γίνεται $36\lambda >21\Leftrightarrow \lambda >\dfrac{7}{12}$
που ισχύει.

Άρα σε κάθε περίπτωση $d(x_1,1)d(x_2,1)>\dfrac{49}{16}$

Tolaso J Kos · #3

Μετά συγχωρήσεως , τι ακριβώς θέλει να εξετάσει η άσκηση; Αν είναι να εξετάσει τα νεύρα του μαθητή , τα καταφέρνει μια χαρά.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: Τρί Μαρ 19, 2019 4:24 pm Καλησπέρα!

α)

Έστω $\Delta$ η διακρίνουσα της $x^2+2x\left | \lambda \right |+\dfrac{\left | \lambda +3 \right |}{4}=0$

Αρκεί $\Delta >0\Leftrightarrow 4\left | \lambda \right |^2-\left | \lambda +3 \right |>0\Leftrightarrow \left | \lambda +3 \right |< 4\lambda ^2\Leftrightarrow -4\lambda ^2< \lambda +3< 4\lambda ^2$

$\lambda +3< 4\lambda ^2\Leftrightarrow 4\lambda ^2-\lambda -3>0$
Έστω $\Delta '$ η διακρίνουσα του τριωνύμου $4\lambda ^2-\lambda -3$ .

Είναι $\Delta '=1+4\cdot 3\cdot 4=49> 0$ ,έστω $\lambda_{1,2}$ οι ρίζες του τριωνύμου με

$\lambda_1<\lambda_2$
$\lambda_{1,2}=\dfrac{1\pm \sqrt{49}}{8}$ άρα αρκεί $\lambda \in \left ( -\infty,\lambda _1 \right )\cup \left ( \lambda _2,+\infty \right )\Leftrightarrow \lambda \in \left ( -\infty,\dfrac{-3}{4} \right )\cup \left ( 1,+\infty \right )$
που ισχύει.

$\lambda +3> -4\lambda ^2\Leftrightarrow 4\lambda ^2+\lambda +3>0$ που ισχύει για κάθε $\lambda \in \mathbb{R}$

β)

$d(x_1,1)d(x_2,1)>\dfrac{49}{16}\Leftrightarrow \left | x_1x_2-(x_1+x_2)+1 \right |\Leftrightarrow \left | 2\left | \lambda \right | +\dfrac{\left | \lambda +3 \right |}{4}+1\right | >\dfrac{49}{16}\Leftrightarrow 2\left | \lambda \right |+...\dfrac{\left | \lambda +3 \right |}{4}+1> \dfrac{49}{16}\Leftrightarrow 32\left | \lambda \right |+4\left | \lambda +3 \right |> 33$

Και παίρνουμε περιπτώσεις

$\lambda \in \left ( -\infty,-3 \right )$ η σχέση γίνεται $4\left ( 3-\lambda \right )-32\lambda >33\Leftrightarrow -36\lambda >21\Leftrightarrow \lambda <-\dfrac{21}{36}=-\dfrac{7}{12}$
που ισχύει.

$\lambda \in [-3,-\dfrac{3}{4})$ η σχέση γίνεται
$4\left ( \lambda +3 \right )-32\lambda >33\Leftrightarrow -28\lambda >21\Leftrightarrow \lambda < \dfrac{-3}{4}$
που ισχύει .

$\lambda \in \left ( 1,+\infty \right )$ η σχέση γίνεται $36\lambda >21\Leftrightarrow \lambda >\dfrac{7}{12}$
που ισχύει.

Άρα σε κάθε περίπτωση $d(x_1,1)d(x_2,1)>\dfrac{49}{16}$

Στο δεύτερο ερώτημα δεν χρειάζονται όλες οι περιπτώσεις.
Αν θέσουμε

$f( \lambda)=32\left | \lambda \right |+4\left | \lambda +3 \right |$
αρκεί

$f(1)\geq 33,f(-\frac{3}{4})\geq 33,f(-3)> 33$

(γιατί ; )

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #5

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Τρί Μαρ 19, 2019 5:43 pm
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: Τρί Μαρ 19, 2019 4:24 pm Καλησπέρα!

α)

Έστω $\Delta$ η διακρίνουσα της $x^2+2x\left | \lambda \right |+\dfrac{\left | \lambda +3 \right |}{4}=0$

Αρκεί $\Delta >0\Leftrightarrow 4\left | \lambda \right |^2-\left | \lambda +3 \right |>0\Leftrightarrow \left | \lambda +3 \right |< 4\lambda ^2\Leftrightarrow -4\lambda ^2< \lambda +3< 4\lambda ^2$

$\lambda +3< 4\lambda ^2\Leftrightarrow 4\lambda ^2-\lambda -3>0$
Έστω $\Delta '$ η διακρίνουσα του τριωνύμου $4\lambda ^2-\lambda -3$ .

Είναι $\Delta '=1+4\cdot 3\cdot 4=49> 0$ ,έστω $\lambda_{1,2}$ οι ρίζες του τριωνύμου με

$\lambda_1<\lambda_2$
$\lambda_{1,2}=\dfrac{1\pm \sqrt{49}}{8}$ άρα αρκεί $\lambda \in \left ( -\infty,\lambda _1 \right )\cup \left ( \lambda _2,+\infty \right )\Leftrightarrow \lambda \in \left ( -\infty,\dfrac{-3}{4} \right )\cup \left ( 1,+\infty \right )$
που ισχύει.

$\lambda +3> -4\lambda ^2\Leftrightarrow 4\lambda ^2+\lambda +3>0$ που ισχύει για κάθε $\lambda \in \mathbb{R}$

β)

$d(x_1,1)d(x_2,1)>\dfrac{49}{16}\Leftrightarrow \left | x_1x_2-(x_1+x_2)+1 \right |\Leftrightarrow \left | 2\left | \lambda \right | +\dfrac{\left | \lambda +3 \right |}{4}+1\right | >\dfrac{49}{16}\Leftrightarrow 2\left | \lambda \right |+...\dfrac{\left | \lambda +3 \right |}{4}+1> \dfrac{49}{16}\Leftrightarrow 32\left | \lambda \right |+4\left | \lambda +3 \right |> 33$

Και παίρνουμε περιπτώσεις

$\lambda \in \left ( -\infty,-3 \right )$ η σχέση γίνεται $4\left ( 3-\lambda \right )-32\lambda >33\Leftrightarrow -36\lambda >21\Leftrightarrow \lambda <-\dfrac{21}{36}=-\dfrac{7}{12}$
που ισχύει.

$\lambda \in [-3,-\dfrac{3}{4})$ η σχέση γίνεται
$4\left ( \lambda +3 \right )-32\lambda >33\Leftrightarrow -28\lambda >21\Leftrightarrow \lambda < \dfrac{-3}{4}$
που ισχύει .

$\lambda \in \left ( 1,+\infty \right )$ η σχέση γίνεται $36\lambda >21\Leftrightarrow \lambda >\dfrac{7}{12}$
που ισχύει.

Άρα σε κάθε περίπτωση $d(x_1,1)d(x_2,1)>\dfrac{49}{16}$
Στο δεύτερο ερώτημα δεν χρειάζονται όλες οι περιπτώσεις.
Αν θέσουμε

$f( \lambda)=32\left | \lambda \right |+4\left | \lambda +3 \right |$
αρκεί

$f(1)\geq 33,f(-\frac{3}{4})\geq 33,f(-3)> 33$

(γιατί ; )

Η $f\left ( \lambda \right )$ είναι γνησιώς αύξουσα στο $\left [ 1,\infty \right )$ άρα αρκεί $f(1)\geq33$ για $\lambda$ θετικό.
Είναι γνησίως αύξουσα στο $\left ( -\infty,-3 \right )$ άρα αρκεί $f(-3)\geq33$ για $\lambda<3$
Είναι γνησίως φθίνουσα στο $[ -3,-\dfrac{3}{4} )$ άρα αρκεί $f\left ( -3/4 \right )>33$
για τα $3\leq \lambda <-\dfrac{3}{4}$
Σωστά;

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: Τρί Μαρ 19, 2019 8:51 pm
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Τρί Μαρ 19, 2019 5:43 pm
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: Τρί Μαρ 19, 2019 4:24 pm Καλησπέρα!

α)

Έστω $\Delta$ η διακρίνουσα της $x^2+2x\left | \lambda \right |+\dfrac{\left | \lambda +3 \right |}{4}=0$

Αρκεί $\Delta >0\Leftrightarrow 4\left | \lambda \right |^2-\left | \lambda +3 \right |>0\Leftrightarrow \left | \lambda +3 \right |< 4\lambda ^2\Leftrightarrow -4\lambda ^2< \lambda +3< 4\lambda ^2$

$\lambda +3< 4\lambda ^2\Leftrightarrow 4\lambda ^2-\lambda -3>0$
Έστω $\Delta '$ η διακρίνουσα του τριωνύμου $4\lambda ^2-\lambda -3$ .

Είναι $\Delta '=1+4\cdot 3\cdot 4=49> 0$ ,έστω $\lambda_{1,2}$ οι ρίζες του τριωνύμου με

$\lambda_1<\lambda_2$
$\lambda_{1,2}=\dfrac{1\pm \sqrt{49}}{8}$ άρα αρκεί $\lambda \in \left ( -\infty,\lambda _1 \right )\cup \left ( \lambda _2,+\infty \right )\Leftrightarrow \lambda \in \left ( -\infty,\dfrac{-3}{4} \right )\cup \left ( 1,+\infty \right )$
που ισχύει.

$\lambda +3> -4\lambda ^2\Leftrightarrow 4\lambda ^2+\lambda +3>0$ που ισχύει για κάθε $\lambda \in \mathbb{R}$

β)

$d(x_1,1)d(x_2,1)>\dfrac{49}{16}\Leftrightarrow \left | x_1x_2-(x_1+x_2)+1 \right |\Leftrightarrow \left | 2\left | \lambda \right | +\dfrac{\left | \lambda +3 \right |}{4}+1\right | >\dfrac{49}{16}\Leftrightarrow 2\left | \lambda \right |+...\dfrac{\left | \lambda +3 \right |}{4}+1> \dfrac{49}{16}\Leftrightarrow 32\left | \lambda \right |+4\left | \lambda +3 \right |> 33$

Και παίρνουμε περιπτώσεις

$\lambda \in \left ( -\infty,-3 \right )$ η σχέση γίνεται $4\left ( 3-\lambda \right )-32\lambda >33\Leftrightarrow -36\lambda >21\Leftrightarrow \lambda <-\dfrac{21}{36}=-\dfrac{7}{12}$
που ισχύει.

$\lambda \in [-3,-\dfrac{3}{4})$ η σχέση γίνεται
$4\left ( \lambda +3 \right )-32\lambda >33\Leftrightarrow -28\lambda >21\Leftrightarrow \lambda < \dfrac{-3}{4}$
που ισχύει .

$\lambda \in \left ( 1,+\infty \right )$ η σχέση γίνεται $36\lambda >21\Leftrightarrow \lambda >\dfrac{7}{12}$
που ισχύει.

Άρα σε κάθε περίπτωση $d(x_1,1)d(x_2,1)>\dfrac{49}{16}$
Στο δεύτερο ερώτημα δεν χρειάζονται όλες οι περιπτώσεις.
Αν θέσουμε

$f( \lambda)=32\left | \lambda \right |+4\left | \lambda +3 \right |$
αρκεί

$f(1)\geq 33,f(-\frac{3}{4})\geq 33,f(-3)> 33$

(γιατί ; )
Η $f\left ( \lambda \right )$ είναι γνησιώς αύξουσα στο $\left [ 1,\infty \right )$ άρα αρκεί $f(1)\geq33$ για $\lambda$ θετικό.
Είναι γνησίως αύξουσα στο $\left ( -\infty,-3 \right )$ άρα αρκεί $f(-3)\geq33$ για $\lambda<3$
Είναι γνησίως φθίνουσα στο $[ -3,-\dfrac{3}{4} )$ άρα αρκεί $f\left ( -3/4 \right )>33$
για τα $3\leq \lambda <-\dfrac{3}{4}$
Σωστά;

Πρόδρομε σωστά είναι αυτά που γράφεις.
Αλλά εγώ το βλέπω ως εξής.(θα το γράψω αναλυτικά να γίνει κατανοητό)
Αν έχουμε μια συνάρτηση της μορφής

$f(x)=\sum_{i=1}^{n}c_{i}|x-a_{i}|,a_{1}< a_{2}< ...< a_{n}$

η γραφική της παράσταση στα διαστήματα

$(-\infty ,a_{1}],[a_{1},a_{2}],...[a_{n-1},a_{n}],[a_{n},\infty )$

είναι μέρος ευθείας.

Εδώ $c_{i}=1$ . Τα διαστήματα είναι $(-\infty ,-3],[-3,0],[0,\infty )$ .
Στο πρώτο είναι γνησίως φθίνουσα,στο τελευταίο γνησίως αύξουσα,ενώ στο μεσαίο ότι και να είναι οι
ανισότητες που έγραψα μου δίνουν αυτό που θέλουμε.

Από το διαδίκτυο...

Από το διαδίκτυο...

Re: Από το διαδίκτυο...

Re: Από το διαδίκτυο...

Re: Από το διαδίκτυο...

Re: Από το διαδίκτυο...

Re: Από το διαδίκτυο...

Μέλη σε σύνδεση