Τιμές κλασμάτων

#1

Δίνεται ότι $\displaystyle \frac{x}{{{x^2} + x + 1}} = a.$ Ι) Να βρείτε τις τιμές που μπορεί να πάρει ο πραγματικός αριθμός

ΙΙ) Να εκφράσετε το κλάσμα $\displaystyle \frac{{{x^2}}}{{{x^4} + {x^2} + 1}}$ ως συνάρτηση του

kfd · #2

I.Aν x=0 τότε α=0.
Τα α,χ ομόσημα.
Eίναι $\frac{1}{a}=x+1+\frac{1}{x}.$
Aν x>0

κι επειδή $x+\frac{1}{x}\geqslant 2\Rightarrow \frac{1}{a}\geq 3\Rightarrow a\leq \frac{1}{3}.$
Aν x<0

είναι $x+\frac{1}{x}\leqslant -2\Rightarrow \frac{1}{a}\leqslant -1\Rightarrow \frac{a+1}{a}\leqslant 0\Rightarrow a\epsilon [-1,0).$ Άρα $a\epsilon \left [ -1,\frac{1}{3} \right ].$
II. $a^{2}=\frac{x^{2}}{x^{4}+x^{2}+1+2x^{3}+2x^{2}+2x}=\frac{x^{2}}{x^{4}+x^{2}+1+2x\left ( x^{2}+x+1 \right )}\Rightarrow \frac{1}{a^{2}}=\frac{x^{4}+x^{2}+1}{x^{2}}+\frac{2}{a}\Rightarrow \frac{x^{2}}{x^{4}+x^{2}+1}=\frac{a^{2}}{1-2a}.$
Στην αντιστροφή του $a^{2}$ πρέπει $a\neq 0$ , αλλά και αν α=0 τότε x=0.

#3

Καλησπέρα σε όλους. Λίγο διαφορετικά από τον kfd.

$\displaystyle \frac{x}{{{x^2} + x + 1}} = a \Leftrightarrow a{x^2} + ax + a = x \Leftrightarrow a{x^2} + \left( {a - 1} \right)x + a = 0$ (1)

Αν a=0

, τότε

, δεκτή τιμή για το

.

Αν $a \ne0$ , τότε για να υπάρχουν $x \in R$ που επαληθεύουν την (1) πρέπει και αρκεί

$\displaystyle \Delta \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {\alpha - 1} \right)^2} - 4{\alpha ^2} \ge 0 \Leftrightarrow 3{\alpha ^2} + 2\alpha - 1 \le 0 \Leftrightarrow \alpha \in \left[ { - 1,0} \right) \cup \left( {0,\frac{1}{3}} \right]$

Οπότε $\displaystyle \alpha \in \left[ { - 1,\;\frac{1}{3}} \right]$ .

Για $x \ne0$ είναι $\displaystyle \frac{x}{{{x^2} + x + 1}} = a \Leftrightarrow x + \frac{1}{x} = \frac{1}{a} - 1$

Οπότε $\displaystyle \frac{{{x^4} + {x^2} + 1}}{{{x^2}}} = {x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} + 1 = {\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^2} - 1 = {\left( {\frac{1}{a} - 1} \right)^2} - 1 = \frac{{1 - 2a}}{{{a^2}}} \Rightarrow \frac{{{x^2}}}{{{x^4} + {x^2} + 1}} = \frac{{{a^2}}}{{1 - 2a}}$

Για x = 0

, το κλάσμα ισούται με

.

Τιμές κλασμάτων

Τιμές κλασμάτων

Re: Τιμές κλασμάτων

Re: Τιμές κλασμάτων

Μέλη σε σύνδεση