Από τα μικρά στα μεγάλα

KARKAR · #1

( Από διαγωνισμό ) : Αν : x^3+4x=8

, υπολογίστε το : x^7+64x^2

vgreco · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 15, 2023 12:11 pm
( Από διαγωνισμό ) : Αν : $x^3+4x=8 \quad (1)$ , υπολογίστε το :

$\displaystyle{ \begin{aligned} x^7 + 64x^2 & = \left( x^3 + 4x \right) \left( x^4 + 16x \right) - 4x^5 - 16x^4 \\ & \overset{(1)}{=} 128x - 4x^5 - 8x^4 \\ & \overset{(1)}{=} 128x - 4\left( 8x^2 - 4x^3 \right) - 8\left( 8x - 4x^2 \right) \\ & = 128x - \cancel{32x^2} + 16x^3 - 64x + \cancel{32x^2} \\ & = 64x + 16x^3 = 16 \left( x^3 + 4x \right) \overset{(1)}{=} \boxed{128} \end{aligned} }$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 15, 2023 12:11 pm
( Από διαγωνισμό ) : Αν : , υπολογίστε το :

Είναι αρκετά κοινός τύπος άσκησης, χιλιοειπωμένος:

Αφού $x^3=8-4x,\, (*)$ , έχουμε πολλαπλασιάζοντας επί x^2

ότι $x^5 = 8x^2- 4x^3 = ^{(*)} 8x^2 - 32 +16x$ . Άρα

$\displaystyle{x^6 = 8x^ 3 -32x +16x^2 = ^{(*)} 64-32x -32x +16x^2 = 64-64x +16x^2}$ , οπότε πολλαπλασιάζοντας επί

έχουμε

$x^7= 64x-64x^2 + 16x ^3 = ^{(*)} 64x -64x^2 + 128 - 64x = -64x^2 +128$ , από όπου το ζητούμενο.

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 15, 2023 12:11 pm
( Από διαγωνισμό ) : Αν : , υπολογίστε το :

$\displaystyle {\left( {{x^3}} \right)^2} = {\left( {8 - 4x} \right)^2} \Leftrightarrow {x^6} = 64 - 64x + 16{x^2} \Leftrightarrow {x^7} = 64x - 64{x^2} + 16{x^3} \Leftrightarrow$

$\displaystyle {x^7} + 64{x^2} = 16({x^3} + 4x) = 16 \cdot 8 \Leftrightarrow$ $\boxed{x^7+64x^2=128}$

Από τα μικρά στα μεγάλα

Από τα μικρά στα μεγάλα

Re: Από τα μικρά στα μεγάλα

Re: Από τα μικρά στα μεγάλα

Re: Από τα μικρά στα μεγάλα

Μέλη σε σύνδεση