Ενδιάμεσες δυνάμεις

KARKAR · #1

$\bigstar$ Αν : x+y=3

και :

, υπολογίστε το : x^2+y^2

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #2

Aπό τη γνωστή ταυτότητα $x^{3}+y^{3}=\left ( x+y \right )\left ( x^{2}-xy+y^{2} \right )$

έχω ότι $18= 3\left ( x^{2}-xy+y^{2} \right )$ , δηλαδή $x^{2}-xy+y^{2} =6$

και αν πολλαπλασιάσω με το

την τελευταία ισότητα έχω $2x^{2}-2xy+2y^{2} =12.$ (1)

Επίσης $x+y=3\Rightarrow \left ( x+y \right ) ^{2}=9\Rightarrow x^{2}+2xy+y^{2}=9.$ (2)

Αν προστεθούν οι (1) και (2) προκύπτει ότι

$3x^{2}+3y^{2}=21\Rightarrow 3\left ( x^{2}+y^{2} \right )=21\Rightarrow x^{2}+y^{2}=7.$

ksofsa · #3

Καλησπέρα.

Μια διαφορετική λύση (εκτός φακέλου) χρησιμοποιεί την ταυτότητα του Euler:

Επειδή x+y-3=0

, είναι $x^3+y^3-27=3(-3xy)=-9xy\Rightarrow 18-27=-9xy\Rightarrow -9=-9xy\Rightarrow xy=1$ .

Τελικά, x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=3^2-2=7

.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 24, 2023 11:52 am
$\bigstar$ Αν : και : , υπολογίστε το :

Από την

παίρνουμε

κι αν

έχουμε

και

άρα $A(x+y)=x^3+y^3+xy(x+y) \Rightarrow A=7$

πιο απλά A=(x+y)^2-2xy=7

Ενδιάμεσες δυνάμεις

Ενδιάμεσες δυνάμεις

Re: Ενδιάμεσες δυνάμεις

Re: Ενδιάμεσες δυνάμεις

Re: Ενδιάμεσες δυνάμεις

Μέλη σε σύνδεση