Υπολογισμός αθροίσματος

hlkampel · #1

Αν για του πραγματικούς αριθμούς x,y

ισχύουν οι σχέσεις $\displaystyle{{x^3} + 3{x^2} + 6x - 7 = 0}$

και $\displaystyle{{y^3} + 3{y^2} + 6y + 15 = 0}$ , να υπολογίσετε το άθροισμα x + y

Σταμ. Γλάρος · #2

hlkampel έγραψε:Αν για του πραγματικούς αριθμούς ισχύουν οι σχέσεις $\displaystyle{{x^3} + 3{x^2} + 6x - 7 = 0}$

και $\displaystyle{{y^3} + 3{y^2} + 6y + 15 = 0}$ , να υπολογίσετε το άθροισμα

Καλησπέρα. Μια προσπάθεια...
Προσθέτοντας κατά μέλη τις δοθείσες έχουμε
x^3+y^3+3x^2+3y^2+6x+6y+8=0

$\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow$ x^3+1+y^3+1+3(x+1)^2 +3(y+1)^2=0

$\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow$ (x+1)(x^2-x+1) +(y+1)(y^2-y+1) +3(x+1)^2+3(y+1)^2=0

$\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow$ (x+1)(x^2-x+1+3x+3)+(y+1)(y^2-y+1+3y+3) = 0

$\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow$ (x+1)[(x+1)^2+3]+(y+1)[(y+1)^2+3] = 0

$\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow$ (x+1)^3+(y+1)^3 + 3(x+y+2)= 0

$\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow$ (x+y+2)[(x+1)^2-(x+1)(y+1) +(y+1)^2 ] + 3(x+y+2)= 0

$\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow$ (x+y+2)[(x+1)^2-(x+1)(y+1) +(y+1)^2 +3] = 0

.

Την παράσταση μέσα στην αγκύλη , μπορούμε να την θεωρήσουμε τριώνυμο ως προς x+1

, το οποίο είναι πάντα θετικό διότι $\Delta =-3(y+1)^2-12<0$ .
Συνεπώς x+y=-2.

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

maiksoul · #3

hlkampel έγραψε:Αν για του πραγματικούς αριθμούς ισχύουν οι σχέσεις $\displaystyle{{x^3} + 3{x^2} + 6x - 7 = 0}...(1)$

και $\displaystyle{{y^3} + 3{y^2} + 6y + 15 = 0}...(2)$ , να υπολογίσετε το άθροισμα

Καλησπέρα Ηλία, καλησπέρα Σταμάτη.Δίνω ακόμα μια απάντηση:

Η πρώτη σχέση γίνεται:
$(1)\Leftrightarrow 2x^3+6x^2+12x=14\Leftrightarrow x^3+x^3+3x^2\cdot 2+3\cdot x\cdot 2^2+2^3=14+8$

δηλαδή: x^3+(x+2)^3=22...(3)

Όμοια η δεύτερη σχέση:
$(2)\Leftrightarrow 2y^3+6y^2+12y=-30\Leftrightarrow y^3+y^3+3y^2\cdot 2+3\cdot y\cdot 2^2+2^3=-30+8$

δηλαδή: $y^3+(y+2)^3=-22\Leftrightarrow (y+2)^3+y^3=-22...(4)$

Αθροίζοντας έχουμε:

$(3)+(4)\Rightarrow [x^3+(y+2)^3]+[y^3+(x+2)^3]=0$

δηλαδή:

$(x+y+2)\cdot [x^2-x(y+2)+(y+2)^2+y^2-y(x+2)+(x+2)^2]=0$

Από την τελευταία παίρνουμε αμέσως:

$\Rightarrow x+y=-2$

Υπολογισμός αθροίσματος

Υπολογισμός αθροίσματος

Re: Υπολογισμός αθροίσματος

Re: Υπολογισμός αθροίσματος

Μέλη σε σύνδεση