Απόδειξη Απόστασης Πραγματικών Αριθμών

[GreenMosquito]

Να αποδείξετε, ότι η απόσταση οποιονδήποτε δύο σημείων Α(α) και Β(β) του άξονα x'x, είναι η απόλυτη τιμή της διαφοράς των συντεταγμένων τους.

Απόσταση ανάμεσα σε δύο σημεία.png (114.23 KiB) Προβλήθηκε 1110 φορές

Ως μια επιπλέον πρόκληση, να βρείτε και μια δεύτερη απόδειξη του παραπάνω τύπου.

[Tolaso J Kos]

Δεν είναι άμεσο; Ας υποθέσουμε διάταξη. Έστω . Τότε η απόσταση μεταξύ των αριθμών αυτών είναι . Όμοια , αν τότε η απόσταση είναι .


Σε κάθε περίπτωση η απόσταση είναι .

[GreenMosquito]

Δεν είναι άμεσο; Ας υποθέσουμε διάταξη. Έστω . Τότε η απόσταση μεταξύ των αριθμών αυτών είναι . Όμοια , αν τότε η απόσταση είναι .


Σε κάθε περίπτωση η απόσταση είναι .

Στο πρόβλημα, δεν μπορούμε να συμπεράνουμε απευθείας, ότι αν ο , τότε η απόσταση μεταξύ αυτών των αριθμών είναι . Το ζητούμενο είναι να αποδείξουμε την προηγούμενη πρόταση.

Συγνώμη αν δεν ήμουν ξεκάθαρος, αλλά το μόνο που μας δίνεται είναι ότι η απόσταση ενός οποιοδήποτε σημείου A(α) από την αρχή Ο(0), ισούται με την απόλυτη τιμή του α.

Απόσταση Σημείου από την Αρχή.png (107.23 KiB) Προβλήθηκε 1095 φορές

Και με βάσει το παραπάνω, θέλουμε να αποδείξουμε ότι η απόσταση οποιονδήποτε δύο σημείων Α(α) και Β(β) του άξονα, ισούται με την απόλυτη τιμή του β-α. (Το οποίο μπορεί να αποδειχθεί τουλάχιστον με δύο τρόπους).

[Mihalis_Lambrou]

Στο πρόβλημα, δεν μπορούμε να συμπεράνουμε απευθείας, ότι αν ο , τότε η απόσταση μεταξύ αυτών των αριθμών είναι . Το ζητούμενο είναι να αποδείξουμε την προηγούμενη πρόταση.

Κανείς δεν είπε ότι μπορούμε να το συμπεράνουμε. Αυτό που λέγεται (π.χ. αυτό ακριβώς έγραψε ο Τόλης) είναι ότι "μπορούμε να υποθέσουμε". Με απλά λόγια, αφού , μπορούμε χωρίς βλάβη να πάρουμε το ως το αριστερότερο σημείο από τα δύο. Η ουσία δεν αλλάζει.

Νομίζω ότι το ερώτημα είναι απόλυτα τετριμμένο. Υπάρχει άλλωστε επεξηγημένο στο Σχολικό βιβλίο.