Λόγος όρων προόδου

#1

Ο λόγος των αθροισμάτων των

πρώτων όρων δυο αριθμητικών προόδων $\left( {{a_{n\,}}} \right)\,\,,\,\,\,\left( {{b_n}} \right)$ είναι ίσος με $\dfrac{{3n + 13}}{{n + 2}}$ , για κάθε $n \in {\mathbb{N}^ * }$ .

Να βρεθεί ο $k \in {\mathbb{N}^ * }$ , ώστε ο λόγος $\dfrac{{{a_k}}}{{{b_k}}}$ να είναι ακέραιος .

#2

Επαναφορά .
Ίσως θα πρέπει να μεταφερθεί σε ανώτερο φάκελο.

abfx · #3

Ας είναι $\omega_1 , \omega_2$ οι διαφορές των (a_n) , (b_n)

αντίστοιχα.
Θα δείξουμε ότι $\omega_1=3\omega_2$ .

Από τα δεδομένα έχουμε ότι $\displaystyle\frac{a_1+a_2+\dots +a_n}{b_1+b_2+\dots +b_n}=\frac{3n+13}{n+2} \iff \frac{na_1+\frac{n(n-1)}{2}\omega_1}{nb_1+\frac{n(n-1)}{2}\omega_2}=\frac{3n+13}{n+2}\iff$

$\displaystyle\iff\frac{a_1+\frac{n-1}{2}\omega_1}{b_1+\frac{n-1}{2}\omega_2}=\frac{3n+13}{n+2} \iff \frac{\frac{2a_1-\omega_1}{\omega_2}+\frac{\omega_1}{\omega_2}n}{\frac{2b_1-\omega_2}{\omega_2}+n}=\frac{3n+13}{n+2}, \forall n\in\mathbb{N}^*$ .

Γενικά δε, έχουμε ότι $\displaystyle\frac{a+bn}{c+n}=\frac{a{'}+b{'}n}{c{'}+n} , \forall n\in\mathbb{N}^*\implies (b-b{'})n^2+(a+bc{'}-a{'}-b{'}c)n+ac{'}-a{'}c=0\implies$

$\displaystyle \implies b=b{'}$ , αλλιώς θα είχαμε τριτοβάθμιο πολυώνυμο με άπειρες ρίζες.

Έτσι, θα είναι $\frac{\omega_1}{\omega_2}=3$ και άρα αυτό που θέλαμε.

Τώρα παρατηρούμε ότι $\displaystyle\frac{a_1+a_2+a_3+a_4+a_5}{b_1+b_2+b_3+b_4+b_5}=\frac{13+3\cdot 5}{2+5}=4$ .

Ισοδύναμα $\displaystyle\frac{5a_3}{5b_3}=4 \implies \frac{a_3}{b_3}=4$ .

Για $k>3 ,\displaystyle \frac{a_k}{b_k}=\frac{a_3+3(k-3)\omega_2}{b_3+(k-3)\omega_2}\in (3,4)$ και άρα ο λόγος δεν μπορεί να έχει ακέραια τιμή.

Τέλος, εύκολα ελέγχουμε ότι $\displaystyle\frac{a_1}{b_1}=\frac{16}{3} , \frac{a_2}{b_2}=\frac{22}{5}$ ,οπότε μοναδική δεκτή τιμή η k=3

.

Λόγος όρων προόδου

Λόγος όρων προόδου

Re: Λόγος όρων προόδου

Re: Λόγος όρων προόδου

Μέλη σε σύνδεση