Μέγιστη τιμή για τους νέους

KARKAR · #1

Βρείτε την μέγιστη τιμή της συνάρτησης : $f(x)=\sqrt{x^2-6x+18}-\sqrt{x^2-6x+10}$ .

#2

Καλησπέρα σε όλους. Παρακαλώ, ορίσατε τον όρο: "νέους".

: 14-12-2022 Γεωμετρία.png (8.26 KiB) Προβλήθηκε 1057 φορές

Έστω σημεία A(x,0),B(3,3),C(3,1)

, οπότε

$\displaystyle f(x) = \sqrt {{x^2} - 6x + 18} - \sqrt {{x^2} - 6x + 10} = \sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2} + 9} - \sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2} + 1} = \left( {AB} \right) - \left( {AC} \right)$

Από τριγωνική ανισότητα είναι $\displaystyle \left( {AB} \right) \le \left( {BC} \right) + \left( {AC} \right) \Leftrightarrow \left( {AB} \right) - \left( {BC} \right) \le 2$ με το μέγιστο για x = 3

.

#3

Γιώργος Ρίζος έγραψε: Τετ Δεκ 14, 2022 8:39 pm Καλησπέρα σε όλους. Παρακαλώ, ορίσατε τον όρο: "νέους".

14-12-2022 Γεωμετρία.png

Έστω σημεία , οπότε

$\displaystyle f(x) = \sqrt {{x^2} - 6x + 18} - \sqrt {{x^2} - 6x + 10} = \sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2} + 9} - \sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2} + 1} = \left( {AB} \right) - \left( {AC} \right)$

Από τριγωνική ανισότητα είναι $\displaystyle \left( {AB} \right) \le \left( {BC} \right) + \left( {AC} \right) \Leftrightarrow \left( {AB} \right) - \left( {BC} \right) \le 2$ με το μέγιστο για .

Ωραίο Γιώργο

#4

KARKAR έγραψε: Τετ Δεκ 14, 2022 7:30 pm Βρείτε την μέγιστη τιμή της συνάρτησης : $f(x)=\sqrt{x^2-6x+18}-\sqrt{x^2-6x+10}$ .

Έστω $\displaystyle y = f(x) = \sqrt {{{(x - 3)}^2} + 9} - \sqrt {{{(x - 3)}^2} + 1} > 0 \Leftrightarrow y + \sqrt {{{(x - 3)}^2} + 1} = \sqrt {{{(x - 3)}^2} + 9}$

$\displaystyle {y^2} + 2y\sqrt {{{(x - 3)}^2} + 1} = 8 \Leftrightarrow \frac{{8 - {y^2}}}{{2y}} = \sqrt {{{(x - 3)}^2} + 1} \geqslant 1 \Leftrightarrow {y^2} +2y - 8 \le 0$

κι επειδή y>0,

θα είναι $y\le 2.$ Άρα $\boxed{{y_{\max }} = 2}$ όταν $\boxed{x=3}$

KARKAR · #5

Βρείτε την μέγιστη τιμή της συνάρτησης : $f(x)=\sqrt{x^2-6x+18}-\sqrt{x^2-6x+10}$ .

Για να δικαιολογηθεί καλύτερα η παρουσία της άσκησης στον φάκελο της Α' Λυκείου : Είναι

( συζυγής παράσταση ) : $f(x)=\dfrac{8}{\sqrt{(x-3)^2+9}+\sqrt{(x-3)^2+1}}\leq 2$

με την ισότητα να ισχύει για : x=3

.

Μέγιστη τιμή για τους νέους

Μέγιστη τιμή για τους νέους

Re: Μέγιστη τιμή για τους νέους

Re: Μέγιστη τιμή για τους νέους

Re: Μέγιστη τιμή για τους νέους

Re: Μέγιστη τιμή για τους νέους

Μέλη σε σύνδεση